1.1 不動点定理に基づく反復法

与えられた方程式をそれと同値な

(1.1)

$\displaystyle x=F(x)$

に変換してそれを解くと解釈できる方法が多い。

方程式 (1.1) の解のことをの不動点と呼び、方程式 (1.1) の解の存在を保証する定理を不動点定理と呼ぶ。

ここでは (1.1) のタイプの方程式を不動点型の方程式と呼ぶことにする。

適当に選んだの要素から漸化式

(1.2)

$\displaystyle x_{k+1}=F(x_k)$ $\displaystyle \mbox{($k=0,1,2,\cdots$)}$

で定めた列 $\{x_k\}k\in\mathbb{N}$ が極限 $x_\infty\in X$ を持つことがある。

が連続であれば $x_\infty$ は

の不動点である (これは (1.5) において $k\to\infty$ の極限を取れば良い)。このことを背景に列 $\{x_k\}_{k\in\mathbb{N}}$ を実際に計算して、十分大きな番号

に対する

を方程式の近似解として採用する方法を反復法と呼ぶ。

$\begin{jtheorem}[Banach の不動点定理 (縮小写像に関する不動点定... ...で生成される列 $\{x_k\}$ の極限として得られる。\end{jtheorem}$

証明. 有名なので省略する。例えば Schwartz [6] を参照せよ。 $\qedsymbol$ $\qedsymbol$

$\begin{jremark} Lipschitz 定数 $<1$ の Lipschitz 条件を満たす写像�... ...e \exists L<1$ を満たすならば縮小写像である。 \qed \end{jremark}$

$\begin{jremark}[Banach の不動点定理の簡単な拡張] $F$ そのもの�... ... \end{displaymath}で帰納的に定義される写像である。 \end{jremark}$

$\begin{jtheorem}[Brouwer の不動点定理] $D$ を $\mathbb{R}^n$ の有界... ...��とき、 $f$ は少なくとも一つの不動点を持つ。 \end{jtheorem}$

証明. Zeidler [7], 増田 [18] 等を参照せよ。 $\qedsymbol$ $\qedsymbol$

桂田祐史