2.1.2.1 $2$ 次方程式

$2$ 次方程式 $a x^2+b x+c=0$ は根の公式

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

がある。高校数学では係数 $a$, $b$, $c$ は実数であるが、 複素数にしてもこの式のままで大丈夫である (なお、複素数の平方根は、 実数の平方根を使って計算できる -- 自力でやっても難しくないが、 Ahlfors の有名な複素解析の教科書に説明がある)。

この根の公式のまま、浮動小数点演算を用いて計算しようとすると、 $b^2\gg 4\vert ac\vert$ の場合に桁落ち (cancellation) が起きてしまい、 精度が低下してしまう。

例えば $b>0$ の場合、

$$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

の計算で桁落ちが起こるので、

$$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\frac{\left(-b+\sqrt{b^2-4ac}\... ...ac} \right)}{2a\left(-b-\sqrt{b^2-4ac}\right)} =\frac{-2c}{b+\sqrt{b^2-4ac}}$$

のように分子の有理化を行うか、桁落ちの起こらない方の根

$$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

を先に計算してから、根と係数の関係 $x_1 x_2=c/a$ から

$$x_2=\frac{c}{a x_1}$$

と計算する (この式の右辺を整理すると上と同じになる)。$\qedsymbol$