$ n$ 階方程式への拡張

$ n$ 階の微分方程式

$\displaystyle y^{(n)}+a_1 y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}y'+a_n y=f(x)
$

への拡張について説明しておく。

特性根を $ \alpha_1$, $ \cdots$, $ \alpha_n$ として、

$\displaystyle G(x)=e^{\alpha_1 x}\ast e^{\alpha_2 x}\ast \cdots \ast e^{\alpha_n x},
\quad
u(x)=G\ast f(x)
$

とおくと、$ u$

$\displaystyle u^{(n)}+a_1 u^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}u'+a_n u=f(x),\quad
u(0)=u'(0)=\cdots=u^{(n-1)}(0)=0
$

をみたす。Green 関数 $ G$ の計算には Laplace 変換が役立つ。

$\displaystyle {\cal L}[G](s)
= {\cal L}[e^{\alpha_1 x}\ast\cdots\ast e^{\alpha_...
...ts{\cal L}[e^{\alpha_n x}](s)
=\frac{1}{s-\alpha_1}\cdots\frac{1}{s-\alpha_n}.
$

この右辺を部分分数分解してから、 Laplace 逆変換すれば $ G$ が求められる。

特に特性根が相異なるならば、この右辺は

$\displaystyle \frac{1}{s-\alpha_1}\cdots\frac{1}{s-\alpha_n}=
\sum_{j=1}^n\frac{A_j}{s-\alpha_j},\quad
A_j=\prod_{j\ne k}(\alpha_k-\alpha_j)
$

と部分分数分解できるので、容易に

$\displaystyle G(x)=\sum_{j=1}^n A_j e^{\alpha_j x}
$

であることがわかる。 なお、$ G$ は次の条件で特徴づけられる:
      $\displaystyle G^{(n)}+a_1 G^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}G'+a_n G=0,$
      $\displaystyle G(0)=G'(0)=\cdots=G^{(n-2)}(0)=0,\quad
G^{(n-1)}(0)=1.$



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桂田 祐史