3 畳み込みを利用した証明

(これは古いテキストに載せていたものである。)

一般の $f(x)$ に対して、非同次方程式

$$y''+p y'+q y=f(x)$$ (7)

の特解を求めるには、 (1) Laplace 変換を利用する方法, (2) 定数変化法など色々な方法があるが、 ここでは初期値問題の Green 関数を用いる方法を紹介する。

この定理に現れた関数 $G$ のことを 微分方程式 (7) の 初期値問題の Green 関数とよぶ。

畳み込みを用いると、 上の (9) の $u$ は $u=G\ast f$ と書けることが分かる。 畳み込みは上の定理の証明にも活躍する。 そのために少し準備しよう。

(1) は簡単であるので省略する。 (2), (3) は演習問題とする。 (4) は以下の議論に必要がないので省略する³。 $\qedsymbol$

定理の証明に入る前に、 定数係数$1$階線型微分方程式の初期値問題

$$y'-a y=f(x),\quad y(0)=0$$

の解は

$$y=\int_0^x e^{a(x-y)}f(y) \D y$$

であることを思い出しておく。畳み込みを用いると

$$y=(e^{a x}\ast f)(x)$$

とも書ける。

定理 $A(x):=e^{\alpha x}$, $B(x):=e^{\beta x}$ とおく。 $u$ が

$$u''+p u'+q u=f(x),\quad u(0)=u'(0)=0$$

を満たすとするとき、 $v:=u'-\beta u$ とおくと、

$$v'-\alpha v=(v''-\beta v')-\alpha(v'-\beta) =v''-(\alpha+\beta) v'+\alpha\beta v =v''+p v'+q v=f(x),$$

$$v(0)=u'(0)-\beta u(0)=0-\beta\cdot 0=0$$

であるから、上に書いた注意より

$$v(x)=(A\ast f)(x).$$

ところで

$$u'-\beta u=v(x),\quad u(0)=0$$

であるから、$u=B\ast v$. ゆえに

$$u=B\ast v=B\ast(A\ast f)=(B\ast A)\ast f.$$

ゆえに $G:=B\ast A$ とおくと、$u=G\ast f$ となる。 以下 $G$ を具体的に計算して求めよう。

$\alpha\ne \beta$ の場合は

$$G(x) = \int_0^x B(x-y)A(y) \D y =\int_0^x e^{\beta(x-y)}e^{\alpha y} \D y =e^{\beta x}\int_0^x e^{(\alpha-\beta) y} \D y$$

$$=e^{\beta x} \left[\frac{e^{(\alpha-\beta) y}}{\alpha-\beta}\right]_0^x = \dfrac{e^{\alpha x}-e^{\beta x}}{\alpha-\beta}.$$

一方、 $\alpha=\beta$ の場合は、

$$G(x) = \int_0^x B(x-y)A(y) \D y =\int_0^x e^{\alpha(x-y)}e^{\alpha y} \D y =e^{\alpha x}\int_0^x \D y =x e^{\alpha x}. \qed$$