2.4 split Cholesky 分解を用いる方法

LAPACK で採用されている方法である。 残念ながら適当な参考文献が入手できていない。 LAPACK のドライバー・ルーチン spbstf の ソース・プログラム dpbstf.f 中の 注釈くらいしか参考になるものがない。

http://www.netlib.org/cgi-bin/netlibfiles.pl?filename=/lapack/double/dpbstf.f

なお、LAPACK のソースをサーチするには

http://www.cs.colorado.edu/~jessup/lapack/applets/search.html

が便利である。

$B$ を

$$B=S^T S$$

の形に分解するのだが、 通常の Cholesky 分解とは異なり、$S$ は上三角行列ではなく、

$$S= \left( \begin{array}{cc} U & 0 \\ M & L \end{array... ...�行列},\quad L=\mbox{$(n-k_d)/2$ 次下三角行列},\quad$$

のような行列である。ここで $k_d$ は半バンド幅である。

$$A'=P^{-T}A P^{-1}$$

とおくと、 前小節の補題 2.4 に より $A'$ は対称であることが分かる。

$A$, $B$ が帯行列である場合、$A'$ も (やや帯幅は増えるものの) 帯行列に なる。