A..2 Rayleigh 商と min-max 原理

桂田 [7] を見よ。

前項に引き続き行列 $A$ のスペクトル半径を$r(A)$ と書くことにする。

$A\in\R^{n\times n}$, $x\in\R^n$, $x\ne 0$ とするとき、

$$R_A(x):= \frac{(A x,x)}{(x,x)} =\frac{x^T A x}{x^T x}$$

を $A$ の $x$ に対する Rayleigh 商と呼ぶ。 ($R_A(x)$ という記号はここだけのものである。)

• $x$ が $A$ の固有値 $\lambda$ に属する 固有ベクトルならば、 $R_A(x)=\lambda$ である。
• $A$ と $x$ が与えられたとき、 $\Vert A x-\lambda x\Vert$ を最小にする $\lambda$ は $R_A(x)$ である。
• $x$ が $A$ の固有値 $\lambda$ に属する固有値ベクトルに近いとき、 $R_A(x)$ は $\lambda$ の良い近似値となる (ここには書かないが具体的な評価式が得られる)。

(厳密には命題の後半を min-max 原理という。 証明については例えば？？？を見よ。)