1 はじめに

紐の長さが $\ell$ である単振り子 (たんしんし単振子, simple pendulum) の運動方程式は、 $m$ を重りの質量、$g$ を重力加速度として

$$m\ell \theta''(t)=m g \sin\theta(t)$$

となる。これから

$$\theta''(t)+\omega^2\sin\theta(t)=0,\quad \omega:=\sqrt{\frac{g}{\ell}}$$ (1)

という微分方程式が得られる (ここに $m$ は出て来ないので、単振り子の運動は質量には依らない、 ということはすぐ分かる)。

微小振動 ( $\vert\theta\vert\sim 0$ ) の場合は、 $\sin\theta$ は $\theta$ に近いので、 単振り子の運動は

$$\theta''(t)+\omega^2\theta(t)=0$$

に従う単振動で良く近似できる、とされる (高校物理の相場)。 単振動は (大学の理系の学科では) 「常識的」で¹、一般解は

$$\theta(t)=C_1\cos\omega t+C_2\sin\omega t$$   $$\mbox{($C_1$, $C_2$ は任意定数)}$$

であり、これは周期

$$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}$$

を持つ周期関数である、と明解に解ける。 この周期が $g$ と $\ell$ だけで決まることから、 「振り子の等時性が成り立つ (周期は振幅によらない)」ということにもなる。

しかし、単振動で近似するのはあくまでも近似である。 どうして近似を用いた説明が多いのかというと、 近似しないで解くのが難しいからである (後で見るように、解や周期を表すのに、 楕円関数、楕円積分というものが必要になる²)。 この文書の目的は、 本来の振り子の運動 (微分方程式 (1) の解) がどうなるか (近似を用いずに)、きちんと考えてみよう、 ということである。

単振り子は、 単振動ではないとすると、 本当に周期運動をするか？と心配となるが、 次節でも証明するエネルギー保存則

$$\frac{1}{2}\theta'(t)^2-\omega^2\cos\theta(t)=$$定数

より大丈夫であることが分かる (戻ってきた時、前と同じ速さであり、減衰したりはしない ³。

図 1: 横軸 $\theta$ , 縦軸 $\theta '$ . 閉曲線は、行ったり来たり。勢いが良いとぐるぐる (振り子じゃない！)。

ガリレオが発見したという『振り子の等時性』は、 実は厳密には成立しない性質であるが (つまり周期は本当は振幅による)、 どの程度成り立っているものなのかも、 明らかにしよう (目で見て分かるようにする -- 後の図 5)。