B. 命題 4.2 の証明

命題 4.2 は基本的な内容だが、 案外と載っていない本が多いので、 Brezis [4] に従って証明しておく。

(導関数が 0 に等しい超関数は定数関数に等しいという命題の証明と 同じである。)

$$\int_a^b\psi(t)\,\D t=1$$

を満たす $\psi\in C^\infty_0((a,b);\R)$ を一つ取って固定する (実は $C=\dsp\int_a^b f(t)\psi(t)\,\D t$ となる)。 任意の $w\in C^\infty_0((a,b);\R)$ に対して、

$$h(t):=w(t)-\left(\int_a^b w(s)\D s\right)\psi(t) \mbox{($t\in(a,b)$)}$$ (1)

とおくと、 $h\in C^\infty_0((a,b);\R)$ かつ

$$\int_a^b h(t)\,\D t =\int_a^b w(t)\,\D t -\int_a^b w(s)\,\D s\int_a^b\psi(t)\,\D t =\int_a^b w(t)\,\D t-\int_a^b w(s)\,\D s=0.$$

ゆえに

$$\varphi(t):=\int_a^t h(s)\,\D s$$   $$\mbox{($t\in(a,b)$)}$$

とおくと $\varphi\in C^\infty_0((a,b);\R)$ , $\varphi'=h$ . 仮定から

$$0=\int_a^b f(t)\varphi'(t)\,\D t$$

である。 これに $\varphi'=h$ と $h$ の定義式 (2) を代入すると

$$= \int_a^b f(t)w(t)\,\D t -\int_a^b f(t)\left(\int_a^b w(s)\,\D s\right)\psi(t)\,\D t$$ 0

$$= \int_a^b f(t)w(t)\,\D t -\int_a^b f(t)\psi(t)\,\D t \int_a^b w(s)\,\D s$$

$$= \int_a^b f(t)w(t)\,\D t-C\int_a^b w(s)\,\D s =\int_a^b\left(f(t)-C\right)w(t)\,\D t,$$

ただし

$$C:=\int_a^b f(s)\psi(s)\,\D s.$$

変分法の基本補題から

$$f(t)=C$$   $$\mbox{(a.a. $t\in(a,b)$)}$$$$. \qed$$

証明の要点は Fubini の定理による積分の順序交換である (ただし積分範囲は $(t,s)$ 平面の二つの三角形の和であり、 まず積分を二つに分けてから、 それぞれについて Fubini の定理を適用することになる)。

$$\int_a^b f(t)\varphi'(t)\,\D t = \int_a^{y_0} f(t)\varphi'(t)\,\D t +\int_{y_0}^b f(t)\varphi'(t)\,\D t$$

$$= \int_a^{y_0}\varphi'(t)\D t\int_{t}^{y_0}g(s)\,\D s +\int_{y_0}^b\varphi'(t)\D t\int_{y_0}^tg(s)\,\D s$$

$$= -\int_a^{y_0}g(s)\,\D s\int_a^s\varphi'(t)\,\D t +\int_{y_0}^bg(s)\,\D s\int_t^b\varphi'(t)\,\D t =-\int_a^b g(s)\varphi(s)\,\D s.\qed$$

命題 4.2の証明     $I=(a,b)$ とする。 $u\in W^{1,p}(I;\R)$ より $u'\in L^p(I;\R)$ であるから、 任意に $t_0\in I$ を取って固定して、

$$\overline u(t):=\int_{t_0}^t u'(s)\,\D s$$   $$\mbox{($t\in\overline I$)}$$

とおくと $\overline u$ は $C(\overline I;\R)$ に属する ($I=(a,b)$ 自身が非有界の場合でも、 $t_0$ , $t$ は有限なので、 $\overline u$ を定義する積分の積分区間は有界であり、 $u'$ はそこで可積分となることに注意)。 また、補題B.2より

$$\int_a^b \overline u(t)\varphi'(t)\,\D t =-\int_a^b u'(t)\varphi(t)\,\D t$$   $$\mbox{($\varphi\in C^\infty_0(I;\R)$)}$$$$.$$

一方 $u\in W^{1,p}(I;\R)$ であるから

$$\int_a^b u(t)\varphi'(t)\,\D t =-\int_a^b u'(t)\varphi(t)\,\D t.$$

これから

$$\int_a^b\left(u(t)-\overline u(t)\right)\varphi'(t)\,\D t=0.$$

補題B.1より $\exists C\in\R$ s.t.

$$u-\overline u=C$$   $$\mbox{a.e. on $I$}$$$$.$$

そこで

$$\widetilde u(t):=\overline u(t)+C$$   $$\mbox{($t\in\overline I$)}$$

とおくと、 $\widetilde u\in\left(\overline I;\R\right)$ そして

$$\widetilde u=u$$   $$\mbox{a.e. on $I$}$$$$,$$

そして

$$\widetilde u(x)-\widetilde u(t) =\int_y^x u'(t)\,\D t$$   $$\mbox{($x$, $y\in\overline I$)}$$$$. \qed$$