4.4 完全正規直交系

$\{u_j\}_{j\in\N}$ が $X$ の正規直交基底であるとき、 任意の $x$ に対して、

$$x=\sum_{n=1}^\infty \alpha_n u_n$$   i.e.$$\quad \lim_{n\to\infty}\left\Vert x-\sum_{j=1}^n \alpha_j u_j\right\Vert=0$$

であるが、もちろん $\alpha_n=(x,u_n)$ である。また

$$\Vert x\Vert^2=\sum_{n=1}^\infty \vert(x,u_n)\vert^2.$$