解答の分析

最後の式は

$$p=\left(u,\frac{v}{\Vert v\Vert}\right)\frac{v}{\Vert v\Vert}$$

と変形できる。

$$n=\frac{v}{\Vert v\Vert}$$

とおくと、これは $v$ 方向の単位ベクトル (あるいは $v$ を正規化したベクト ル) であり、

$$p=(u,n)n$$

となる。$(u,n)$ は $u$ の $v$ 方向の成分とも言うべき量である。 $u$ と $v$ のなす角を $\theta$ とすると、

$$(u,n)=\Vert u\Vert\cos\theta$$

であるから、 $u$ の ${\rm Span}(v)$ への影の (符号付きの) 長さとも言えることが分かる (図を描こう！)。

$p$ は直線上で最も $u$ に近い点である、すなわち

$$\Vert p-u\Vert=\min_{x\in{\rm Span\;}(v)}\Vert x-u\Vert$$

が成り立つ。これは直角三角形では斜辺は垂辺より長い、 という極めて当たり前の話である。このことの証明はピタゴラスの定理

$$\Vert x-u\Vert^2=\Vert x-p\Vert^2+\Vert p-u\Vert^2$$

から得られる不等式

$$\Vert x-u\Vert^2\ge\Vert x-p\Vert^2$$

による。

調子に乗って、少し拡張した問題を考えてみよう。