1.2 相加平均 $\ge$ 相乗平均

$f=-\log$ とおくと $f''>0$ であることに注意すれば、 前小節の命題より明らか。 $x_1=(y_1)^2$, $\cdots$, $x_n=(y_n)^2$ とおくことにより、

$$\frac{(y_1)^2+(y_2)^2+\cdots+(y_n)^2}{n} \ge \sqrt[n]{(y_1 y_2\cdots y_n)^2}$$

を証明すればよいが、同次性から単位球面上で

$$\frac{1}{n}\ge \sqrt[n]{(y_1 y_2\cdots y_n)^2}$$

を示せば十分である。 そこで

$$f(y_1,y_2,\cdots,y_n)\DefEq (y_1)^2 (y_2)^2\cdots (y_n)^2,$$

$$g(y_1,y_2,\cdots,y_n)\DefEq (y_1)^2+(y_2)^2+\cdots+(y_n)^2-1$$

とおき、条件 $g(y)=0$ のもとでの $f$ の最大値を調べる。 まず方程式 $g(y)=0$ は単位球面を表わし、これはコンパクトであるから、 最大値が存在することが分かる。 また

$$\nabla f(y)= 2\left( \begin{array}{c} y_1 (y_2)^2 \cdots... ..._2)^2 \cdots y_n \end{array} \right), \quad \nabla g(y)=2 y$$

であるから、条件 $g(y)=0$ のもとでは $\nabla g(y)\ne 0$. ゆえに 最大値は必ず Lagrange の未定乗数法で求まる。つまり最大値点 $y$ では $\exists\lambda\in\R$ s.t.

$$\nabla f(y)=\lambda g(y).$$

これを成分で書くと

$$\begin{eqnarray*} (y_1)^1 (y_2)^2 (y_3)^2\cdots (y_{n-1})^2 (y_n)^2&=&\lambda y... ...(y_1)^2 (y_2)^1 (y_3)^2\cdots (y_{n-1})^2 (y_n)^1&=&\lambda y_n. \end{eqnarray*}$$

明らかに最大値は正であるから、$y_j\ne 0$ ( $j=1,2,\cdots, n$). ゆえに

$$L\DefEq \prod_{j=1}^n (y_j)^2$$

とおくと、

$$\frac{L}{(y_1)^2}= \frac{L}{(y_2)^2}=\cdots= \frac{L}{(y_n)^2}=\lambda$$

これから $(y_1)^2=(y_2)^2=\cdots=(y_n)^2$. 和が $1$ である ($g(y)=0$) から、

$$(y_1)^2=(y_2)^2=\cdots=(y_n)^2=\frac{1}{n}.$$

ゆえに条件 $g(y)=0$ の下での $f$ の最大値は

$$f(y)=\left(\frac{1}{n}\right)^n.$$

これから $g(y)=0$ を満たす任意の $y$ に対して、

$$f(y)\le \left(\frac{1}{n}\right)^n.$$

ゆえに

$$\sqrt[n]{f(y)}\le \frac{1}{n}. \qed$$