1.1 凸性

良く知られているので省略。例えば杉浦 [#!______!#] を見よ。

帰納法による。$n=1$ のときは明らか。$n$ のとき成立すると仮定する。

$$\frac{x_1+\cdots+x_n+x_{n+1}}{n+1} =\frac{n}{n+1} \frac{x_1+\cdots+x_n}{n}+\frac{1}{n+1} x_{n+1}$$

であり、 $\theta=n/(n+1)$ とおくと $1-\theta=1/(n+1)$ となることに注意すると、 凸性の仮定から、

$$f\left(\frac{x_1+\cdots+x_n+x_{n+1}}{n+1}\right) \le \fra... ...eft(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right)+\frac{1}{n+1}f(x_{n+1}).$$ (1)

帰納法の仮定

$$\begin{eqnarray*} f\left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right) \le \frac{f(x_1)+\cdots+f(x_n)}{n} \end{eqnarray*}$$

を使って

$$f\left(\frac{x_1+\cdots+x_n+x_{n+1}}{n+1}\right) \le \frac{n}{n+1}\frac{f(x_1)+\cdots+f(x_n)}{n}+\frac{1}{n+1}f(x_{n+1})$$ (2)

$$= \frac{f(x_1)+\cdots +f(x_n)+f(x_{n+1})}{n+1}.$$

特に $f$ が狭義凸の場合は、(1) で等号が成り立つ ための必要十分条件として、

$$\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}=x_{n+1}.$$ (3)

また (2) で等号が成り立つための必要十分条件として、

$$x_1=x_2=\cdots=x_n.$$ (4)

結局 (2) で等号が成り立つには (3) と (4) が同時に成り立つこと、すなわち

$$x_1=x_2=\cdots=x_{n}=x_{n+1}$$

であることが必要十分である。