B..1 計算法の説明

証明. まず $0<k'<1$ であることから、$k_1>0$ が導かれる。

$k_1+k_1 k'=1-k'$ より $(1+k_1)k'=1-k_1$ であるから、 $k'=\dfrac{1-k_1} {1+k_1}$ であり、

$$k=\sqrt{1-k'^2}=\sqrt{1-\left(\frac{1-k_1}{1+k_1}\right)^2} =\frac{1}{1+k_1}\sqrt{(1+k_1)^2-(1-k_1)^2}=\frac{2\sqrt{k_1}}{1+k_1}.$$

ゆえに

$$\left(\frac{k}{k_1}\right)^2 =\frac{1}{k_1}\cdot\left(\frac{k}{\sqrt{k_1}}\right)^2 =\frac{4}{k_1(1+2k_1+k_1^2)}>1$$   ( $0<$分母$<4$ であるから)$$.$$

ゆえに $k_1<k$.

また

$$1-x_1^2 =1-\frac{(1+k')^2x^2(1-x^2)}{1-k^2x^2} =\frac{1}{1-k^2x^2}\left(1-k^2x^2+(1+k')^2x^2-(1+k')^2x^4\right)$$

$$=\frac{1}{1-k^2x^2}\left(1+2k'(1+k')x^2-(1+k')^2x^4\right).$$

$f(y):=1+2k'(1+k')y-(1+k')^2y^2$ は $y=\dfrac{k'}{1+k'}$ で最大であり、 $f(0)=1>0$, $f(1)=1+2k'+2k'^2-(1+2k'+k'^2)=k'^2>0$ であるから、 $0<y<1$ で $f(y)>0$ を満たす。ゆえに $1-x_1^2>0$. すなわち $\vert x_1\vert<1$.

積分が等しいことは、、、、 $\qedsymbol$ $\qedsymbol$

これを帰納的に繰り返すと $\left\{k_n\right\}$ は単調減少数列になるが、 実は非常に速く 0 に近づく。そこで $k_n$ が十分小さくなったところで、 楕円積分を冪級数展開して計算することも考えられる。 実は算術幾何平均アルゴリズムを用いると、より効率の良い計算が可能である。

($\varphi_1$ は $2\varphi$ に近い。 $2\varphi$ が $\pi$ の整数倍のとき、 $\varphi_1=2\varphi$. $\tan(\varphi_1-\varphi)=k_1\tan\varphi$ の解として、 $\left\vert\varphi_1-2\varphi\right\vert<\pi/2$ という条件を満たすような $\varphi_1$ を選ぶ。)

証明. (26) の証明

$k_1+k_1 k'=1-k'$ より $(1+k_1)k'=1-k_1$ であるから、 $k'=\dfrac{1-k_1} {1+k_1}$ であり、

$$k=\sqrt{1-k'^2}=\sqrt{1-\left(\frac{1-k_1}{1+k_1}\right)^2} =\frac{1}{1+k_1}\sqrt{(1+k_1)^2-(1-k_1)^2}=\frac{2\sqrt{k_1}}{1+k_1}.$$

(27) の証明 $\angle OPC=2\varphi-\varphi_1$ であるから、 $O$ から $CP$ に下ろした垂線を $OH$ とするとき、

$$OH=\sin\left(2\varphi-\varphi_1\right),$$

$$OH=k_1\sin\varphi_1.$$

(28) の証明 $\cos(2\varphi-\varphi_1)=PH$, $k_1\cos\varphi_1=HC$ であるから、

$$\cos(2\varphi-\varphi_1)+k_1\cos\varphi_1=PH+HC=PC.$$

$\triangle BPC$ について余弦定理を用いて、$PC$ を求める。 $BC=1+k_1$, $BP=2\sin\varphi$, $\angle PBC=\frac{\pi}{2}-\varphi$ であるから、

$$PC =\sqrt{BC^2+BP^2-2BC\cdot BP\cos\angle PBC}$$

$$=\sqrt{(1+k_1)^2 +4\sin^2\varphi -2\cdot(1+k_1)\cdot 2\sin\varphi\cdot\cos(\pi/2-\varphi)}$$

$$=\sqrt{(1+k_1)^2-4k_1\sin^2\varphi}$$

$$=(1+k_1)\sqrt{1-\frac{4k_1}{(1+k_1)^2}\sin^2\varphi}$$

$$=(1+k_1)\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}.$$

(最後は (26) を用いた。)

(29) の証明

$$k_1=\frac{\sin(2\varphi-\varphi_1)}{\sin\varphi_1}$$

より

$$k'=\frac{1-k_1}{1+k_1} =\frac{\sin\varphi_1-\sin(2\varphi-\varph... ...n\varphi\cos(\varphi_1-\varphi)} =\frac{\tan(\varphi_1-\varphi)}{\tan\varphi}$$

であるから、

$$\tan(\varphi_1-\varphi)=k'\tan\varphi.$$

$\qedsymbol$ $\qedsymbol$

$(k,\varphi)\mapsto (k_1,\varphi_1)$ を Landen 変換と呼ぶ。

順方向 ($\varphi$から$\varphi_1$を求める) には (29) を使い、 逆方向 ($\varphi$から$\varphi_1$を求める) には (27) を使うのが便利そうだ。

証明.

(1)

$n=0$ のとき、 $k_n'=k_0'=k'=\dfrac{b}{a}=\dfrac{b_0}{a_0}=\dfrac{b_n}{a_n }$. すなわち $n=0$ のとき $k_n'=\dfrac{b_n}{a_n}$ が成り立つ。

0 以上の整数 $n$ に対して、 $k_n'=\dfrac{b_n}{a_n}$ が成り立っているならば、

$$k_{n+1}=\frac{1-k_n'}{1+k_n'}=\frac{1-\frac{b_n}{a_n}}{1+\frac{b_n}{a_n}} =\frac{a_n-b_n}{a_n+b_n}$$

であるから

$$k_{n+1}' =\sqrt{1-k_{n+1}^2} =\sqrt{1-\left(\frac{a_n-b_n}{a_n+b_n}\right)... ...=\frac{\sqrt{(a_n+b_n)^2-(a_n-b_n)^2}}{a_n+b_n} =\frac{2\sqrt{a_nb_n}}{a_n+b_n}$$

$$=\frac{\sqrt{a_nb_n}}{\frac{a_n+b_n}{2}} =\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}.$$

帰納法により、 $n=0,1,2,\cdots$ に対して、 $k_n'=\dfrac{b_n}{a_n}$ が成立する。

ゆえに

$$k_{n+1}=\frac{1-k_n'}{1+k_n'}=\frac{1-\frac{b_n}{a_n}}{1+\frac{b_n}{a_n}} =\frac{a_n-b_n}{a_n+b_n},$$

$$1+k_{n+1}=1+\frac{a_n-b_n}{a_n+b_n}=\frac{2a_n}{a_n+b_n}=\frac{a_n}{a_{n+1}}.$$

ゆえに $n=1,2,\cdots$ に対して $1+k_n=\dfrac{a_{n-1}}{a_n}$ が成り立つ。

(2)

$$F(k,\varphi) =F(k_0,\varphi_0) =\frac{1+k_1}{2}F(k_1,\varphi_1) =\frac{1+k_1}{2}\cdot\frac{1+k_2}{2}F(k_2,\varphi_2)=\cdots$$

$$=\frac{1+k_1}{2}\cdot\frac{1+k_2}{2}\cdots\frac{1+k_n}{2}F(k_n,\varphi_n)$$

$$=\frac{1}{2^n}\frac{a_0}{a_1}\cdot\frac{a_1}{a_2}\cdots\frac{a_{n... ...phi_n) =\frac{a_0}{2^n a_n}F(k_n,\varphi_n) =\frac{a}{2^n a_n}F(k_n,\varphi_n).$$

(3)

良く知られているように、 $n\to\infty$ のとき、$a_n\to M$, $b_n\to M$. ゆえに $k_n'\to 1$, $k_n\to 0$.

$$1\le\frac{1}{\sqrt{1-k_n\sin^2\theta}}\le\frac{1}{\sqrt{1-k_n^2}} =\frac{1}{k_n'}$$

であるから、

$$\varphi_n\le\int_0^{\varphi_n}\frac{\D\theta}{\sqrt{1-k_n^2\sin^2\theta}} \le\int_0^{\varphi_n}\frac{\D\theta}{k_n'}=\frac{\varphi_n}{k_n'}.$$

ゆえに

$$1\le\frac{F(k_n,\varphi_n)}{\varphi_n}\le\frac{1}{k_n'}.$$

$n\to\infty$ とすると、はさみうちの原理によって

$$\lim_{n\to\infty}\frac{F(k_n,\varphi_n)}{\varphi_n}=1.$$

(2) より

$$F(k,\varphi)=\frac{a}{2^n a_n}F(k_n,\varphi_n) =\frac{a}{a_n} \cdot\frac{F(k_n,\varphi_n)}{\varphi_n} \cdot\frac{\varphi_n}{2^n}$$

であるから、 $n\to\infty$ のとき

$$\frac{\varphi_n}{2^n}=F(k,\varphi)\frac{a_n}{a F(k_n,\varphi_n)/\varphi_n} \to F(k,\varphi)\cdot\frac{M}{a\cdot 1}=\frac{F(k,\varphi) M}{a}.$$

ゆえに

$$F(k,\varphi)=\frac{a}{M}\lim_{n\to\infty}\frac{\varphi_n}{2^n}.\qed$$

$\qedsymbol$