B..1 計算法の説明


\begin{jproposition}[本当かな??]
$0<k<1$ に対して、
\begin{displa...
...qrt{(1-t^2)(1-k_1^2t^2)}}
\end{displaymath}が成り立つ。
\end{jproposition}

証明. まず $ 0<k'<1$ であることから、$ k_1>0$ が導かれる。

$ k_1+k_1 k'=1-k'$ より $ (1+k_1)k'=1-k_1$ であるから、 $ k'=\dfrac{1-k_1}
{1+k_1}$ であり、

$\displaystyle k=\sqrt{1-k'^2}=\sqrt{1-\left(\frac{1-k_1}{1+k_1}\right)^2}
=\frac{1}{1+k_1}\sqrt{(1+k_1)^2-(1-k_1)^2}=\frac{2\sqrt{k_1}}{1+k_1}.
$

ゆえに

$\displaystyle \left(\frac{k}{k_1}\right)^2
=\frac{1}{k_1}\cdot\left(\frac{k}{\sqrt{k_1}}\right)^2
=\frac{4}{k_1(1+2k_1+k_1^2)}>1$   ( $ 0<$分母$ <4$ であるから)$\displaystyle .
$

ゆえに $ k_1<k$.

また

    $\displaystyle 1-x_1^2$ $\displaystyle =1-\frac{(1+k')^2x^2(1-x^2)}{1-k^2x^2} =\frac{1}{1-k^2x^2}\left(1-k^2x^2+(1+k')^2x^2-(1+k')^2x^4\right)$
      $\displaystyle =\frac{1}{1-k^2x^2}\left(1+2k'(1+k')x^2-(1+k')^2x^4\right).$

$ f(y):=1+2k'(1+k')y-(1+k')^2y^2$ $ y=\dfrac{k'}{1+k'}$ で最大であり、 $ f(0)=1>0$, $ f(1)=1+2k'+2k'^2-(1+2k'+k'^2)=k'^2>0$ であるから、 $ 0<y<1$$ f(y)>0$ を満たす。ゆえに $ 1-x_1^2>0$. すなわち $ \vert x_1\vert<1$.

積分が等しいことは、、、、 $ \qedsymbol$ $ \qedsymbol$

これを帰納的に繰り返すと $ \left\{k_n\right\}$ は単調減少数列になるが、 実は非常に速く 0 に近づく。そこで $ k_n$ が十分小さくなったところで、 楕円積分を冪級数展開して計算することも考えられる。 実は算術幾何平均アルゴリズムを用いると、より効率の良い計算が可能である。



($ \varphi_1$$ 2\varphi$ に近い。 $ 2\varphi$$ \pi$ の整数倍のとき、 $ \varphi_1=2\varphi$. $ \tan(\varphi_1-\varphi)=k_1\tan\varphi$ の解として、 $ \left\vert\varphi_1-2\varphi\right\vert<\pi/2$ という条件を満たすような $ \varphi_1$ を選ぶ。)

証明. (26) の証明

$ k_1+k_1 k'=1-k'$ より $ (1+k_1)k'=1-k_1$ であるから、 $ k'=\dfrac{1-k_1}
{1+k_1}$ であり、

$\displaystyle k=\sqrt{1-k'^2}=\sqrt{1-\left(\frac{1-k_1}{1+k_1}\right)^2}
=\frac{1}{1+k_1}\sqrt{(1+k_1)^2-(1-k_1)^2}=\frac{2\sqrt{k_1}}{1+k_1}.
$

(27) の証明 $ \angle OPC=2\varphi-\varphi_1$ であるから、 $ O$ から $ CP$ に下ろした垂線を $ OH$ とするとき、

      $\displaystyle OH=\sin\left(2\varphi-\varphi_1\right),$
      $\displaystyle OH=k_1\sin\varphi_1.$

(28) の証明 $ \cos(2\varphi-\varphi_1)=PH$, $ k_1\cos\varphi_1=HC$ であるから、

$\displaystyle \cos(2\varphi-\varphi_1)+k_1\cos\varphi_1=PH+HC=PC.
$

$ \triangle BPC$ について余弦定理を用いて、$ PC$ を求める。 $ BC=1+k_1$, $ BP=2\sin\varphi$, $ \angle PBC=\frac{\pi}{2}-\varphi$ であるから、

    $\displaystyle PC$ $\displaystyle =\sqrt{BC^2+BP^2-2BC\cdot BP\cos\angle PBC}$
      $\displaystyle =\sqrt{(1+k_1)^2 +4\sin^2\varphi -2\cdot(1+k_1)\cdot 2\sin\varphi\cdot\cos(\pi/2-\varphi)}$
      $\displaystyle =\sqrt{(1+k_1)^2-4k_1\sin^2\varphi}$
      $\displaystyle =(1+k_1)\sqrt{1-\frac{4k_1}{(1+k_1)^2}\sin^2\varphi}$
      $\displaystyle =(1+k_1)\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}.$

(最後は (26) を用いた。)

(29) の証明

$\displaystyle k_1=\frac{\sin(2\varphi-\varphi_1)}{\sin\varphi_1}
$

より

$\displaystyle k'=\frac{1-k_1}{1+k_1}
=\frac{\sin\varphi_1-\sin(2\varphi-\varph...
...n\varphi\cos(\varphi_1-\varphi)}
=\frac{\tan(\varphi_1-\varphi)}{\tan\varphi}
$

であるから、

$\displaystyle \tan(\varphi_1-\varphi)=k'\tan\varphi.
$

$ \qedsymbol$ $ \qedsymbol$

$ (k,\varphi)\mapsto (k_1,\varphi_1)$Landen 変換と呼ぶ。

順方向 ($ \varphi$から$ \varphi_1$を求める) には (29) を使い、 逆方向 ($ \varphi$から$ \varphi_1$を求める) には (27) を使うのが便利そうだ。


\begin{jproposition}
$0<k<1$, $0<\varphi<\pi/2$ とする。
$k$ の補母数...
...\infty}\frac{\varphi_n}{2^n}.
\end{displaymath}\end{enumerate}\end{jproposition}

証明.
(1)
$ n=0$ のとき、 $ k_n'=k_0'=k'=\dfrac{b}{a}=\dfrac{b_0}{a_0}=\dfrac{b_n}{a_n
}$. すなわち $ n=0$ のとき $ k_n'=\dfrac{b_n}{a_n}$ が成り立つ。

0 以上の整数 $ n$ に対して、 $ k_n'=\dfrac{b_n}{a_n}$ が成り立っているならば、

$\displaystyle k_{n+1}=\frac{1-k_n'}{1+k_n'}=\frac{1-\frac{b_n}{a_n}}{1+\frac{b_n}{a_n}}
=\frac{a_n-b_n}{a_n+b_n}
$

であるから

    $\displaystyle k_{n+1}'$ $\displaystyle =\sqrt{1-k_{n+1}^2} =\sqrt{1-\left(\frac{a_n-b_n}{a_n+b_n}\right)...
...=\frac{\sqrt{(a_n+b_n)^2-(a_n-b_n)^2}}{a_n+b_n} =\frac{2\sqrt{a_nb_n}}{a_n+b_n}$
      $\displaystyle =\frac{\sqrt{a_nb_n}}{\frac{a_n+b_n}{2}} =\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}.$

帰納法により、 $ n=0,1,2,\cdots$ に対して、 $ k_n'=\dfrac{b_n}{a_n}$ が成立する。

ゆえに

$\displaystyle k_{n+1}=\frac{1-k_n'}{1+k_n'}=\frac{1-\frac{b_n}{a_n}}{1+\frac{b_n}{a_n}}
=\frac{a_n-b_n}{a_n+b_n},
$

$\displaystyle 1+k_{n+1}=1+\frac{a_n-b_n}{a_n+b_n}=\frac{2a_n}{a_n+b_n}=\frac{a_n}{a_{n+1}}.
$

ゆえに $ n=1,2,\cdots$ に対して $ 1+k_n=\dfrac{a_{n-1}}{a_n}$ が成り立つ。
(2)

    $\displaystyle F(k,\varphi)$ $\displaystyle =F(k_0,\varphi_0) =\frac{1+k_1}{2}F(k_1,\varphi_1) =\frac{1+k_1}{2}\cdot\frac{1+k_2}{2}F(k_2,\varphi_2)=\cdots$
      $\displaystyle =\frac{1+k_1}{2}\cdot\frac{1+k_2}{2}\cdots\frac{1+k_n}{2}F(k_n,\varphi_n)$
      $\displaystyle =\frac{1}{2^n}\frac{a_0}{a_1}\cdot\frac{a_1}{a_2}\cdots\frac{a_{n...
...phi_n) =\frac{a_0}{2^n a_n}F(k_n,\varphi_n) =\frac{a}{2^n a_n}F(k_n,\varphi_n).$

(3)
良く知られているように、 $ n\to\infty$ のとき、$ a_n\to M$, $ b_n\to M$. ゆえに $ k_n'\to 1$, $ k_n\to 0$.

$\displaystyle 1\le\frac{1}{\sqrt{1-k_n\sin^2\theta}}\le\frac{1}{\sqrt{1-k_n^2}}
=\frac{1}{k_n'}
$

であるから、

$\displaystyle \varphi_n\le\int_0^{\varphi_n}\frac{\D\theta}{\sqrt{1-k_n^2\sin^2\theta}}
\le\int_0^{\varphi_n}\frac{\D\theta}{k_n'}=\frac{\varphi_n}{k_n'}.
$

ゆえに

$\displaystyle 1\le\frac{F(k_n,\varphi_n)}{\varphi_n}\le\frac{1}{k_n'}.
$

$ n\to\infty$ とすると、はさみうちの原理によって

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{F(k_n,\varphi_n)}{\varphi_n}=1.
$

(2) より

$\displaystyle F(k,\varphi)=\frac{a}{2^n a_n}F(k_n,\varphi_n)
=\frac{a}{a_n}
\cdot\frac{F(k_n,\varphi_n)}{\varphi_n}
\cdot\frac{\varphi_n}{2^n}
$

であるから、 $ n\to\infty$ のとき

$\displaystyle \frac{\varphi_n}{2^n}=F(k,\varphi)\frac{a_n}{a
F(k_n,\varphi_n)/\varphi_n}
\to F(k,\varphi)\cdot\frac{M}{a\cdot 1}=\frac{F(k,\varphi) M}{a}.
$

ゆえに

$\displaystyle F(k,\varphi)=\frac{a}{M}\lim_{n\to\infty}\frac{\varphi_n}{2^n}.\qed
$

$ \qedsymbol$

桂田 祐史