安藤 [13] の流儀

楕円関数では母数 $k$ を後に書くが、楕円積分では母数 $k$ を前に書く。

$0<k<1$ のとき、 $k':=\sqrt{1-k^2}$ とおき、補母数と呼ぶ。

$$F(k,\varphi)=\int_0^\varphi\frac{\D\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta }\;},$$

$$E(k,\varphi)=\int_0^\varphi{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta} }\;\D\theta,$$

$$\varPi(k,n,\varphi) =\int_0^\varphi\frac{\D\theta}{(1+n\sin^2\theta)\sqrt{1-k^2\sin^2\theta }\;}.$$

$$K=K(k)=F\left(k,\frac{\pi}{2}\right),$$

$$E(k)=E\left(k,\frac{\pi}{2}\right).$$

$$u=\int_0^x\frac{\D t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}$$   ( $x\in[-1,1]$)

の逆関数を $\sn u$, あるいは $\sn(u,k)$ と表す。 $(\sn u)^2$ を $\sn^2 u$ と表す (この記号は以下の $\cn$, $\dn$ でも同様)。

$$\cn u=\cn(u,k)=\sqrt{1-\sn^2 u},\quad \dn u=\dn(u,k)=\sqrt{1-k^2\sn^2 u}.$$

$$u=\int_0^\varphi\frac{\D\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta }\;}$$

の逆関数を $\am u$, あるいは $\am(u,k)$ と表し、amplitude と呼ぶ。

$\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}$ をしばしば $\Delta\varphi$ と表す。 補助三角函数というニュアンスで

$$\sn u=\sin\am u,\quad \cn u=\cos\am u,\quad \dn u=\Delta\am u$$

のように用いる。