当面は、楕円積分の逆関数として、 で定義された実関数とする。 実解析関数であることは明らかであるから、一致の定理によって、 複素解析関数として定まることはすぐに分かる。 実は の場合、 , を周期に持つ二重周期関数であり、 全平面において有理型であることが後で分かる。