2.1 はじめに

$$\int\frac{\Dx}{\sqrt{1-x^4}}$$

$x$ の多項式 $p(x)$ と、有理式 $R(t,s)$ について、 積分

$$\int_0^x f\left(t,\sqrt{p(t)}\right)\Dt$$ (1)

を考える。

$p(x)$ の次数が $2$ 以下であれば、初等関数で表せる (？？)。

$p(x)$ の次数が $3$ 以上であれば、 例外的な場合を除いて初等関数では表せない。

$p(x)$ の次数が $3$, $4$ であるとき、 積分 (1) を楕円積分 (elliptic integral) と呼ぶ。 $p(x)$ の次数が $5$ 以上であるときは、 超楕円積分 (hyper-elliptic integral) と呼ぶ。

$p(x)$ の次数が $3$, $4$ の場合を同列に論じるのは、 簡単な変数変換で相互に変換できるからである (そうだ)。 例えば

$$\int\frac{\Dx}{\sqrt{1-x^4}}$$

は

$$x=\sqrt{-y}$$

によって

$$\int\frac{\Dx}{\sqrt{1-x^4}}=-\int\frac{\D y}{2\sqrt{y^3-y}}$$

と変換できる (§C を見れば分かる？？)。