2.1 はじめに

$\displaystyle \int\frac{\Dx}{\sqrt{1-x^4}}
$

$ x$ の多項式 $ p(x)$ と、有理式 $ R(t,s)$ について、 積分

(1) $\displaystyle \int_0^x f\left(t,\sqrt{p(t)}\right)\Dt$

を考える。

$ p(x)$ の次数が $ 2$ 以下であれば、初等関数で表せる (??)。

$ p(x)$ の次数が $ 3$ 以上であれば、 例外的な場合を除いて初等関数では表せない。

$ p(x)$ の次数が $ 3$, $ 4$ であるとき、 積分 (1) を楕円積分 (elliptic integral) と呼ぶ。 $ p(x)$ の次数が $ 5$ 以上であるときは、 超楕円積分 (hyper-elliptic integral) と呼ぶ。

$ p(x)$ の次数が $ 3$, $ 4$ の場合を同列に論じるのは、 簡単な変数変換で相互に変換できるからである (そうだ)。 例えば

$\displaystyle \int\frac{\Dx}{\sqrt{1-x^4}}
$

$\displaystyle x=\sqrt{-y}
$

によって

$\displaystyle \int\frac{\Dx}{\sqrt{1-x^4}}=-\int\frac{\D y}{2\sqrt{y^3-y}}
$

と変換できる (§C を見れば分かる??)。



桂田 祐史