4.1 比較的簡単なもの

1. 自然数 $n$ を入力されたとき、 $1+2+\cdots+n$ を計算して、 その結果を表示するプログラムを書け⁵。
2. 実数 $a$, 自然数 $n$ を入力されたとき、 $a^n$ を計算して、その結果を表示するプログラムを書け ⁶。
3. 自然数 $k$, $n$ を入力されたとき、 $1^k$, $2^k$, $\cdots$, $n^k$ を表示するプログラムを書け ⁷。
4. $a_1=1$, $a_{n+1}=3a_n+2$ ($n\ge 1$) で定まる数列の最初の $100$ 項を 計算して表示するプログラムを書け ($n$ が大きいときは近似値で構わない -- 正確に計算するのは面倒である)。
5. $a_0=1$, $a_1=1$, $a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$ ($n\ge 0$) で定まる 数列 (フィボナッチ数列) $\{a_n\}$ に対して、 $n=1,2,\dots,100$ の順に $a_n$ と $a_n/a_{n-1}$ を計算して表示せよ。 ($n$ が大きいときは近似値で構わない -- すべて正確に計算するには、 多倍長計算ライブラリィを使うなどの工夫が必要になる。)
   [番外] $a_n/a_{n-1}$ の極限は何か？ (簡単な数学の問題)
   [それでも尋ねてみるか] どの $n$ まで $a_{n}$ が正しく計算出来ているか?
6. $n$ を与えられたとき
   $$S_1(n):=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}, \quad S_2(n):=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}$$
   を計算するプログラムを書け。 計算結果は double の精度一杯まで表示せよ。
   [番外] $\dsp\lim_{n\to\infty} S_2(n)=\pi^2/6$ であることが知られている。 点 $(n, \pi^2/6-S_2(n))$ を両側対数目盛でプロットすることによって、 収束の速さを調べよ。
7. 自然数 $n$ を入力されたとき、 $S_n:=\dsp\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$ を計算して結果を表示するプログラムを 書け ($1/k!$ は漸化式で計算するのが簡単)。
8. 関数 $f\colon[a,b]\to \R$ のグラフを描くプログラムを書け。 ただし $f$ を計算する関数をプログラム中に書くものとする。 特に
   $$f(x):= \left\{ \begin{array}{ll} x & \mbox{($0\le x\le 1/2$)}\... ... & \mbox{($1/2\le x\le 1$)}\\ 0 & \text{(それ以外)} \end{array} \right.$$
   の場合に $-0.2\leq x\leq 1.2$ の範囲のグラフを描け。
9. (ここまでの応用) 与えられた自然数 $n$, 実数 $x$ に対して
   $$s_n(x):=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k+1}}{(2k-1)!} x^{2k-1}$$
   を計算する関数を書き、$n=1$, $2$, $3$, $\cdots$, $10$ に対して $s_n(x)$ ( $0\le x\le 2\pi$) のグラフを描け (「Taylor 級数のプログラミングには漸化式を」)。
10. $\R^3$ における極座標をデカルト座標 (直交座標) に変換するコードは簡単で、

      x = r * sin(theta) * cos(phi);
      y = r * sin(theta) * sin(phi);
      z = r * cos(theta);
    

    
    とすれば良い。この逆をする (つまりデカルト座標を極座標に変換する) 関数 d2p() を作って、動くことをチェックせよ⁸。

      d2p(x, y, z, &r, &theta, &phi);
    

    
    のようにして呼び出せるようにすること。
11. 常微分方程式の初期値問題を Euler 法、 Runge-Kutta 法などの数値解法で近似的に解けることは重要である。 以下の初期値問題を解くプログラムを作れ。結果を可視化せよ。

    (1)

    $x'(t)=x(t)$, $x(0)=1$.
    $x(1)=e$ となるはずだが、計算で得た値と比較せよ。

    (2)

    $x''(t)=-g-\gamma x'(t)$, $x(0)=H$, $x'(0)=0$. ただし $g>0$, $\gamma\ge 0$ は定数とする。
    これは速度に比例する空気抵抗が存在する場合の 自由落下を記述する微分方程式である。 実は (抵抗の大きさが速さの自乗に比例する) $x''(t)=-g-\gamma \vert x'(t)\vert x'(t)$ が 正しいという説もある。

    (3)

    $\dsp\dfrac{\D}{\D t}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}$, $x(0)=x_0$, $y(0)=y_0$. ここで $a$, $b$, $c$, $d$ は与えられた定数である。 さまざまな $(x_0,y_0)$ に対して解軌道を描け。

12. 方程式 $\cos x-x=0$ の実数解を、 二分法または Newton 法で計算するプログラムを作れ。

    ( $f(x):=\cos x - x$ は狭義単調減少で、 $f(0)=1>0$, $f(1)=\cos 1-1<0$ であるから、 区間 $(0,1)$ にただ1つの実数解を持つことが分かる。)