10.5 円周率の数値計算について

円周率というと2003年度卒研に

清水康生「$\pi$ の数値解析」

があった。その際に彼につきあって円周率の計算の歴史を学んで、 色々新しいことを知ることが出来、 卒研でももう少し詳しく追求したいと考えていた。

1970 年代前半まで、 円周率の計算というと有名な Machin の公式を 代表とする $\arctan$ 型公式を用いるのが普通であった。 ところが 1970 年代初め頃の Strassen と Schönhage による高速乗算法 (これは FFT を基礎としている) の発見を背景に、 1976 年に Salamin と Brent による Gauss-Legendre 公式の発掘があって 以来円周率の計算法についてはめまぐるしい発展があった。 Gauss-Legendre 公式の属する算術幾何平均アルゴリズムと、 $\arctan$ 型公式や Ramanujan 型公式の級数の和の計算を 工夫したアルゴリズムがしのぎを削っている¹⁷。 そのあたりのことを勉強してみるのは面白い、 誰かチャレンジしないかと思っていた。

今年度図らずも輪講テキストからの自然な発展として 円周率に再挑戦することができたのは嬉しい。 鎌田君＆吉本さんペアと椎名君がつぎ込んだ努力はなかなかのもので、 今後後輩が円周率に再挑戦する際のハードルは ちょっと高くなってしまったなと思う¹⁸。