5.23 仮定を加えて

Integrate[1/(1 + e Cos[x])^2, {x, 0, 2 Pi},  Assumptions -> e > 0 && e < 1]

あるいは

Assuming[e > 0 && e < 1, Integrate[1/(1 + e Cos[x])^2, {x, 0, 2 Pi}]]

(結果は $\dfrac{2\pi}{\left(1-e^2\right)^{3/2}}$ となる。 $0<e<1$ という仮定をつけないと、場合分けを含んだ複雑な式が返ってくる。 あるいは、非力なマシンだと、なかなか実行が終わらない。)

仮定を加えるだけでなく、簡単にするよう指定しないといけない場合もある。 (Simplify[] しないと単に $\cos n\pi$ という結果を返すだけ。 Simplify[] して $(-1)^n$ という結果を返してくれる。)