5.20 リストとその応用 (行列、ベクトル)

急いでいるときは、 使用頻度の高い ベクトル、行列演算、Table[] だけでもチェックすると良い (？)。 時間があるときは、じっくり試しながら読むことを勧めます。

• いわゆる中括弧 { と } の中に カンマで区切って複数のものを並べて作った「リスト」というデータ構造があります。

  list = {1,2,3}

  $1$ , $2$ , $3$ という 3 つの要素からなるリス ト list を定義

• 関数の多くはリストに対して作用します。

  Log[{a,b,c}]
  N[{1/2,1/3,1/4}]
  Sin[Pi/{1,2,3,4,5,6,7,8}]

  自分が作成した関数も (知らぬ間に¹³) リストに対して作用するようになっていたりするので、 意外と便利なことがあります。
• 結果をリストとして返す関数は多いので (方程式の解が複数個ある場合とか、 固有値、固有ベクトルを求める関数など)、 リストの中から特定の要素を取り出す Part[番号] や [[番号]] は重要です。

  list = {1,2,3}
  Part[list,2] または list[[2]]	list の第2要素
  a={{1,2},{3,4}}	行列はこんなふうにリストで表現
  Part[a,1] または a[[1]]	a の第1行
  Part[a,1,2] または a[[1,2]] または a[[1]][[2]]	a の $(1,2)$ 成分
  e=Eigenvalues[a]	行列の固有値を計算
  lam1 = e[[1]]; lam2 = e[[2]]	それぞれ変数に代入
  {lam1,lam2}=e	同時に代入 (注目!)
  Remove[list,a,e,lam1,lam2]

• リストは集合、ベクトル、行列、テンソル、積分やプロットなどの範囲指定、 関数の引数のグループなどを表すのに使われます。

• Total[]	リストの要素の合計
  Mean[]	リストの要素の平均
  Max[]	リストの要素の最大値
  Min[]	リストの要素の最小値

• 集合的な演算をするための関数として、

  Union[]	合併 $A\cup B$
  Intersection[]	共通部分 $A\cap B$
  Complement[]	差集合 $A\setminus B$
  Subsets[]	部分集合すべて (いわゆる冪集合)
  DeleteDuplicates[]	リストから重複を省く

  などがあります。 Complement[] が補集合だけでなく、 差集合の計算に使えることに注意。
• ベクトル的な利用法として

  {1,2,3}+{a,b,c}
  2 {1 3 5}
  {1,3,5} / 3
  {1,2,3} . {3,4,5}	内積
  {1,2,3} {2,3,4}	成分ごとの積
  {1,2,3} / {2,3,4}	成分ごとの商

• 行列演算もできます。

  A={{a11,a12,a13},{a21,a22,a23},{a31,a32,a33}}
  y={y1,y2,y3}
  A . y	行列とベクトルの積
  	(ドットが必要なことに注意)

  
  行列用の関数としては、 行列式 Det[], 転置行列 Transpose[], 逆行列 Inverse[], 固有値 Eigenvalues[], 固有ベクトル Eigenvectors[] などがあります。

  {p,j}=JordanDecomposition[a] とすると、 a の Jordan 標準形 j が求まります ( p$^{-1}$ap が j です)。

• リストを生成する Table[] という関数も慣れると便利です (他のプログラミング言語では繰り返し処理を行って解決するような問題を、 Table[ ] でリストを生成してお仕舞い、ということが多い)。

  Table[i^2, {i,6}]
  Table[Sin[n Pi/5], {n,0,4}]
  Table[x^i+2i, {i,5}]
  Table[Sqrt[x], {x, 0, 1, 0.25}]
  Table[x^i+y^j, {i,3}, {j,2}]
  Table[PrimeQ[2^2^p+1],{p,8}]
  Table[{2^2^n+1,PrimeQ[2^2^n+1]},{n,6}]

  単純な場合は Range[] が便利かも。

  Range[10]	Table[n,{n,1,10}] と同じ
  Range[3,10]	Table[n,{n,3,10}] と同じ
  Range[1,101,2]	$1$ から $101$ までの奇数

• Lisp 言語風の関数として First[], Rest[] などがあります (car, cdr)。

    a={1,2,3,4,5}
    First[a]
    Rest[a]
  
    Last[a]
    Remove[a]
  

• その他 Length[{a,b,c,d,e}], MemberQ[{a,b,c,d,e,f},a], Count[{a,b,a,b,a,b},a], Reverse[], Sort[], RotateLeft[], RotateRight[] 等々。
• ReadList[] という関数を使って、 外部ファイルからリストに読み込めます (この項工事中)。

  ReadList["ファイル名", Number]
  ReadList["ファイル名", Number, RecordLists->True]
  ReadList["!外部コマンド名", Number]
  ReadList["!外部コマンド名", Number, RecordLists->True]

  ``square.data'' を

  1 1

  2 4

  3 9

  4 16

  という内容のファイルとする時、以下のコマンドで何が起こるか？

  ReadList["square.data", Number]
  ReadList["square.data", Number, RecordLists -> True]

付録の A (「その他使う可能性の高いリスト処理用の関数」) も参考にして下さい。