1.7 参考: Newton 法の原理

情報処理教室で実習中に、ここを読む時間はほとんどないでしょうから、余裕のあるときに読んで下さい。

Newton 法は非線形方程式を解くための代表的な方法です。

これは $f$ が微分可能な関数で、 方程式 $f(x)=0$ の近似解 $x_0$ が得られているとき、線形化写像

$$x\mapsto f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$

の零点 $x=x_0-\left[f'(x_0)\right]^{-1}f(x_0)$ は、 $x_0$ よりも良い近似解になっているだろう (実際に適当な条件下でこれは正当化できます)、 という考えから導かれるものです。

すなわち、漸化式

$$x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \quad\hbox{($n=0, 1, 2, \cdots$)}$$

で数列 $\{x_n\}_{n=0,1,2,\cdots}$ を定めると、適当な条件 ⁹の下で

$$\lim_{n\to+\infty} x_n = x_{*}$$

と収束し、極限 $x_*$ は方程式の解になっている:

$$f(x_{*}) = 0$$

ということを利用したもので、実際のアルゴリズムは次のようになります。

Newton法のアルゴリズム

(1)

適当な初期値 $x_0$ を選ぶ。

(2)

$x\leftarrow x_0$

(3)

$x \leftarrow x - f(x)/f'(x)$ とする。

(4)

まだ近似の程度が十分でないと判断されたら (3) に戻る。 そうでなければ $x$ を解として出力する。