2 レポート課題9

• Oh-o! Meiji を使ってレポートを提出せよ。 締め切りは7月19日(火曜)18:00とする。
• Mathematica に与えたコマンドと計算結果、その説明を TEX で書き、 PDFファイル (名前は kadai9.pdf とする) を提出する。
• (繰り返し) 結果が複雑な場合は、簡単化を試みること。
• (繰り返し) 検算が可能な問題については、検算もすること。 -- 時間に余裕が生じた場合は、ここを頑張ること。 コンピューターを使う場合、筆算ではできないような検算も可能になる。

(1)

Mathematica に、 $\cos\dfrac{2\pi}{n}$ ( $n=1,2,\dots,20$) を計算させなさい。 (結果を見て納得が行きますか?)

(2)

$$\sum_{k=1}^3\frac{1}{2^k}$$, $$\sum_{k=1}^5\frac{1}{2^k}$$, $$\sum_{k=1}^{10}\frac{1}{2^k}$$, $$\sum_{k=1}^{50}\frac{1}{2^k}$$ を計算せよ (なるべくユーザー定義関数を使うこと)。 また、それらの値を正確に小数に直せ (十進法では有限小数というのはすぐ分かりますね？)。

(3)

与えられた $\alpha>0$ に対して、 $\sqrt{\alpha}$ の近似値を求めるために Newton 法

$$\mbox{$x_1$ は適当に与える} ,$$

$$x_n= x_{n-1}-\frac{x_{n-1}^2-\alpha}{2 x_{n-1}} =\frac{1}{2}\left(x_{n-1}+\frac{\alpha}{x_{n-1}}\right) \mbox{($n=2,3,\cdots$)}$$

が利用できる¹。 実際にこれを用いて $\sqrt{3}$, $\sqrt{21}$ の近似値を求めよ。 やはり計算の仕方を工夫すること。 また得られた結果の精度についても検討せよ。

(4)

次のどちらか一方を解け。

(a)

図1を再現せよ。

(b)

円錐を描け。

(注意     3次元グラフィックスは、EPS形式で出力すると、 ファイル・サイズが非常に大きくなり、 TEX 文書に取り込めなかったり、 Oh-o! Meiji にアップロード出来なくなったりするので、 一度 JPEG 形式で出力してから、 jpeg2ps で EPS 形式に変換することを勧めます。)

図: $\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{3}+\dfrac{z^2}{4}=1$ と 接平面 $x+y+z=\pm 3$

図1の描き方のヒントをリクエストされたので。 球面を描く例はすでにあった (そこではパラメーター曲面としてだったけれど、 レベル・セット (等値面) としても描画可能)。 それを少し修正すれば $x^2/2+y^2/3+z^2/4=1$ を描くのは簡単である。 一方で平面を描くのも簡単 (グラフとして描いたり、 やはりレベル・セット (等値面) としても描画可能)。 同時に描ければ良いけれど、 それは簡単ではないかもしれない。 そういう困難を解決する手段が、 別々に描いておいたものをまとめて表示する Show[] です。