2.4.3 完全な余談 -- $1/n^j$ の和 ($j\ne 1,2$)

$n$ の指数を一般化して

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}$$

はどうなるかが問題になります。 $s=1$ では発散ですが、実は $\MyRe s>1$ なる任意の $s$ について収束します。

$$\zeta(s):=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}$$   $$\mbox{($\MyRe s>1$)}$$

で定められる $\zeta$ (を解析接続したもの) を Riemann のゼータ関数と呼びます。

$s$ が正の偶数 $2m$ であるとき、 $\zeta(s)=\zeta(2m)$ の値はかなり具体的に分かります (多分関数論2で紹介します)。