4 レポート課題10

• 表題 (Subject:) は「情報処理2課題10」、 締め切りは7月17日正午とする。
• Mathematica に与えたコマンドと計算結果を送ること。 もし出来れば説明も TEX で書くこと (時間が限られているので、TEX 文書による説明は、 レポート受け付けの必要条件とはしない)。 ノートブック (*.nb) を添付するのが簡単であろうが、 その場合は ``syori2-0710.nb'' という名前にすること。
• 結果が複雑な場合は、簡単化を試みること。
• 検算が可能な問題については、検算もすること。 -- 時間に余裕が生じた場合は、ここを頑張ること。 コンピューターを使う場合、筆算ではできないような検算も可能になる。

(1)

Mathematica に、 $\cos\dfrac{2\pi}{n}$ ( $n=1,2,\dots,20$) を計算させなさい。 結果のうち、自分が「知らなかった」ものについて考察しなさい。

(2)

$$\sum_{k=1}^3\frac{1}{2^k}$$, $$\sum_{k=1}^5\frac{1}{2^k}$$, $$\sum_{k=1}^{10}\frac{1}{2^k}$$, $$\sum_{k=1}^{50}\frac{1}{2^k}$$ を計算せよ (なるべくユーザー定義関数を使うこと)。 また、それらの値を正確に小数に直せ。

(3)

与えられた $\alpha>0$ に対して、 $\sqrt{\alpha}$ の近似値を求めるために Newton 法

$$\mbox{$x_1$ は適当に与える} ,$$

$$x_n= x_{n-1}-\frac{x_{n-1}^2-\alpha}{2 x_{n-1}} =\frac{1}{2}\left(x_{n-1}+\frac{\alpha}{x_{n-1}}\right) \mbox{($n=2,3,\cdots$)}$$

が利用できる¹。 実際にこれを用いて $\sqrt{3}$, $\sqrt{21}$ の近似値を求めよ。 やはり計算の仕方を工夫すること。 また得られた結果の精度についても検討せよ。