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A..3 AGM (算術幾何平均) を用いる方法

(準備中 -- この項書きかけ)

1976 年、$ \pi $ の計算法の歴史の新しい1ページが開かれた。

E.Salamin と R.P.Brent により独立に次の手順が「発掘」された。

Salamin-Brent のアルゴリズム (別名 Gauss-Legendre のアルゴリズム)
$ a=1$, $ b=1/\sqrt{2}$ として、

(3) $\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} a_0:=a,\quad b_0:=b,  [0.5em] a_{n+1}...
...m] c_n:=\sqrt{a_n^2-b_n^2} & \quad\mbox{($n=0,1,2,\cdots$)} \end{array} \right.$

で定義された数列を用いて

$\displaystyle \pi_n:=\frac{2 a_{n+1}^2}{1-\dsp\sum_{k=0}^n 2^k c_k^2}
$

とおくとき、

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\pi_n=\pi$   (単調増加)$\displaystyle .
$

これは無限級数でなく、 漸化式で定義された数列の極限として $ \pi $ を とらえているわけだが、いわゆる $ 2$ 次の収束 (4) をするので非常に速く高精度の値が得られる。 収束の速さに関しては

(4) $\displaystyle \pi-\pi_{n+1}\le\frac{2^{-(n+1)}}{\pi^2}(\pi-\pi_n)^2$   (二次収束)$\displaystyle ,$

$\displaystyle \pi-\pi_n\le \pi^2 2^{n+4}e^{-\pi\cdot2^{n+1}}.
$




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Masashi Katsurada
平成21年4月20日