1 Fubini の定理 (続き) 三重積分の場合

$\Omega\subset \R^3$ 上の次の積分を Fubini の定理を使って計算すること を考える。次の (1), (2) は消化和泉である。

$$I:=\tint_\Omega f(x,y,z)\;\DxDyDz$$

(1)

(3次元の縦線集合上の Fubini の定理) $\Omega$ の $xy$ 平面への射影 $D:=\{(x,y)\in\R^2; \exists z\in\R\$   s.t.$\ (x,y,z)\in\Omega\}$ 上の関数 $\varphi_1\colon D\to\R$, $\varphi_2\colon D\to\R$ で、 $\varphi_1\le \varphi_2$ (on $D$) と

$$\Omega=\{(x,y,z); (x,y)\in D, \varphi_1(x,y)\le z\le \varphi_2(x,y)\}$$

を満たすものがあるならば、

$$I=\dint_D\left(\int_{\varphi_1(x,y)}^{\varphi_2(x,y)} f(x,y,z)\;\Dz\right)\DxDy.$$

(2)

(「体積は断面積の積分」の一般化、軸に沿って断面での積分を積分)

$$a:=\inf_{(x,y,z)\in\Omega} x,\quad b:=\sup_{(x,y,z)\in\Omega}x.$$

さらに $x'\in\R$ に対して、

$$\Omega_{x'}:=\{(y,z)\in\R^2; (x',y,z)\in\Omega\}$$   $$\mbox{(平面 $x=x'$\ での断面の $yz$\ 平面への射影)}$$

とおくとき、

$$I=\int_a^b\left(\dint_{\Omega_x}f(x,y,z)\;\Dy\,\Dz\right)\Dx.$$

例えば $\Omega=\{(x,y,z); x^2+y^2+z^2\le R^2\}$ とするとき、 (1) に従うと

$$I= \dint_{D}\left(\int_{-\sqrt{R^2-x^2-y^2}} ^{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}f(x,y,z)\;\Dz\right)\DxDy,\quad D:=\{(x,y);x^2+y^2\le R^2\}.$$

(2) に従うと

$$I=\int_{-R}^R\left( \dint_{\Omega_x}f(x,y,z)\;\Dy\,\Dz \right)\Dx,\quad \Omega_x:=\{(y,z); y^2+z^2\le R^2-x^2\}.$$