0.0.0.5 確認用の問の答

($\sup A$ が求められればよしとする。参考までに証明つきで書いておくが。)

(1)

明らかに $\max A=1$ ($1\in A$ かつ $\forall x\in A$ に対して $x\le 1$) であるから、 $\sup A=\max A=1$.

(2)

$\forall x\in A$ に対して $x\le 1$ であり、 $\forall\eps>0$ に対して、 $\exists x\in A$ s.t. $1-\eps<x$ なので (実際 $1-\eps\le 0$ ならば $x=1/2$ でよいし、 $1-\eps > 0$ ならば $x=\dfrac{(1-\eps)+1}{2}$ とおくと、$x\in A$ かつ、 $1-\eps<x$.) $\sup A=1$.

(3)

$A=\N$ は明らかに上に有界でない (証明するのならばアルキメデスの公理？)。 ゆえに $A$ の上限は存在しない。ゆえに $\sup A=\infty$.

(4)

最初に $A=\left\{0,\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3},\cdots,\dfrac{n-1}{n},\cdots \right\}$ であることを見ておく。明らかに $1$ は $A$ の上界である。 また $\forall\eps>0$ に対して、 $\dfrac{1}{n}<\eps$ となるような $n \in\N$ が存在する (これも本当はアルキメデスの公理)。ゆえに $1-\eps>1-\dfrac{1}{n}$, $1-\dfrac{1}{n}\in A$ であるから、 $1=\sup A$.