2.0.0.2 解

(1)

$$F'(t)=f_x x_t+f_y y_t =f_x(a+th,b+tk)h+f_y(a+th,b+tk)k,$$

簡単のため、 $c:=(a+th,b+tk)$ とおく。 $f$ が$C^2$級であることから、 $f_{xy}=f_{yx}$ であることに注意すると、

$$F''(t) =\left(f_{xx}(c)h+f_{xy}(c)k\right)h +\left(f_{yx}(c)h+f_{yy}(c)k\right)k$$

$$=f_{xx}(a+th,b+tk)h^2+2f_{xy}(a+th,b+tk)h k+f_{yy}(a+th,b+tk)k^2,$$

$f$ が $C^3$ 級であることから、 $f_{xxy}=f_{xyx}$, $f_{xyy}=f_{yyx}$ であることに注意すると、

$$F''(t) =\left(f_{xxx}(c)h+f_{xxy}(c)k\right)h^2 +2\left(f_{xyx}(c)h+f_{xyy}(c)k\right)hk +\left(f_{yyx}(c)h+f_{yyy}(c)k\right)y^2$$

$$=f_{xxx}(c)h^3+3f_{xxy}(c)h^2k+3f_{xyy}(c)hk^2+f_{yyy}(c)k^3.$$

(2) $m=1,2,3$ での結果から

$$\heartsuit F^{(m)}(t)=\sum_{r=0}^{m} {m\choose r}\frac{\rd^m f}{\rd x^r\rd y^{m-r}}(a+th,b+tk)h^r k^{m-r}$$

と推測される。$m=n$ のとき ($&hearts#heartsuit;$) が成立したと仮定すると、 chain rule と $\dsp{n\choose r}+{n\choose r-1}={n+1\choose r}$ から、

$$F^{(n+1)}(t) =\frac{\D}{\D t}F^{(n)}(t) =\frac{\D}{\D t}\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}\frac{\rd^n f}{\rd x^r\rd y^{n-r}}(a+th,b+tk)h^r k^{n-r}$$

$$=\sum_{r=0}^n{n\choose r} \left( \frac{\rd^{n+1}f}{\rd x^{r+1}\rd y^{n-r}}(c)h +\frac{\rd^{n+1}f}{\rd x^{r}\rd y^{n-r+1}}(c)k \right)h^{r}k^{n-r}$$

$$=\sum_{r=0}^n{n\choose r} \frac{\rd^{n+1}f}{\rd x^{r+1}\rd y^{n+1... ..._{r=0}^n{n\choose r} \frac{\rd^{n+1}f}{\rd x^{r}\rd y^{n+1-r}}(c)h^{r}k^{n+1-r}$$

$$=\sum_{r'=1}^{n+1}{n\choose r'-1} \frac{\rd^{n+1}f}{\rd x^{r'}\rd... ..._{r=0}^n{n\choose r} \frac{\rd^{n+1}f}{\rd x^{r}\rd y^{n+1-r}}(c)h^{r}k^{n+1-r}$$

$$=\frac{\rd^{n+1}f}{\rd x^{n+1}}(c)h^{n+1} +\sum_{r=1}^{n}\left({n... ... x^{r}\rd y^{n+1-r}}(c)h^{r}k^{n+1-r} +\frac{\rd^{n+1}f}{\rd y^{n+1}}(c)k^{n+1}$$

$$=\frac{\rd^{n+1}f}{\rd x^{n+1}}(c)h^{n+1} +\sum_{r=1}^{n}{n+1\cho... ... x^{r}\rd y^{n+1-r}}(c)h^{r}k^{n+1-r} +\frac{\rd^{n+1}f}{\rd y^{n+1}}(c)k^{n+1}$$

$$=\sum_{r=0}^{n+1}{n+1\choose r} \frac{\rd^{n+1}f}{\rd x^{r}\rd y^{n+1-r}}(a+th,b+tk)h^{r}k^{n+1-r}.$$

これは $m=n+1$ のときも () が成り立つことを示している。 ゆえに帰納法により、 () は任意の $m\in\N$ に対して成り立つ。 $\qedsymbol$

(2) の証明は、二項定理の帰納法による良く知られた証明と本質的に同じである。

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