1.0.0.2 解

(右辺から左辺)

$$x=\frac{1}{2}(\xi+\eta),\quad t=\frac{1}{2c}\left(\eta-\xi\right)$$

であるから、

$$x_\xi=\frac{1}{2},\quad x_\eta=\frac{1}{2},\quad t_\xi=-\frac{1}{2c},\quad t_\eta=\frac{1}{2c}.$$

chain rule によって

$$v_\eta =u_x x_\eta+u_t t_\eta =\frac{1}{2}u_x+\frac{1}{2c}u_t,$$

$$v_{\eta\xi} =\frac{1}{2}\left(u_{xx}x_\xi+u_{xt}t_\xi\right) +\frac{1}{2c}\le... ... =\frac{1}{4}u_{xx}-\frac{1}{4c}u_{xt}+\frac{1}{4c}u_{tx} -\frac{1}{4c^2}u_{tt}$$

$$=\frac{1}{4}\left(u_{xx}-\frac{1}{c^2}u_{tt}\right).$$

ゆえに

$$\frac{1}{c^2}\frac{\rd^2 u}{\rd t^2}=\frac{\rd^2u}{\rd x^2} =-4\frac{\rd^2 v}{\rd\xi\rd\eta}.$$

(左辺から右辺)

$$\xi_x=1,\quad \xi_t=-c,\quad \eta_x=1,\quad \eta_t=c.$$

chain rule によって

$$u_t =v_\xi\xi_t+v_\eta\eta_t=-c v_\xi+c v_\eta,$$

$$u_{tt} =-c(v_{\xi\xi}\xi_t+v_{\xi\eta}\eta_t) +c\left(v_{\eta\xi}\xi_t+v... ...eta}\eta_t\right) =c^2 v_{\xi\xi}-c^2v_{\xi\eta}-c^2v_{\eta\xi}+c^2v_{\eta\eta}$$

$$=c^2\left(v_{\xi\xi}+v_{\xi\eta}+v_{\eta\xi}+v_{\eta\eta}\right),$$

$$u_x =v_\xi\xi_x+v_\eta\eta_x=v_\xi+c_\eta,$$

$$u_{xx} =v_{\xi\xi}+v_{\xi\eta}+v_{\eta\xi}+v_{\eta\eta}$$

であるから、

$$\frac{1}{c^2}\frac{\rd^2 u}{\rd t^2}=\frac{\rd^2u}{\rd x^2} =-4\frac{\rd^2 v}{\rd\xi\rd\eta}. \qed$$