定理 2.3 の証明

$n$ に関する帰納法による。 $n=2$ のとき (2) が成り立つのは明らかである。 $n=k$ のとき (2) が成り立つと仮定する。 二項定理に続いて帰納法の仮定を用いて、

$$(a_1+a_2+\cdots+a_k+a_{k+1})^m =\left((a_1+a_2+\cdots+a_k)+a_{k+1}\right)^m$$

$$=\sum_{\alpha+\beta=m}\frac{m!}{\alpha!\beta!} \left(a_1+a_2+\cdots+a_k\right)^\alpha a_{k+1}^\beta$$

$$=\sum_{\alpha+\beta=m}\frac{m!}{\alpha!\beta!} \sum_{\alpha_1+\al... ...cdots\alpha_k!} a_1^{\alpha_1}a_2^{\alpha_2}\cdots a_k^{\alpha_k} a_{k+1}^\beta$$

$$=\sum_{\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k+\beta=m} \frac{m!}{\alph... ..._k!\beta!} a_1^{\alpha_1} a_2^{\alpha_2} \cdots a_k^{\alpha_k} a_{k+1}^{\beta}.$$

これは $n= k+1$ のときに (2) が成り立つことを示している。 ゆえに (2) は、 $2$ 以上の任意の自然数に対して成立する。 $\qedsymbol$

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