chain rule をゆっくりと

(これはぜひ説明する。)

前回の例 ($z=x y$, $x=\varphi(t)$, $y=\psi(t)$) で

$$\frac{\rd z}{\rd t}= \frac{\rd z}{\rd x}\frac{\rd x}{\rd t} + \frac{\rd z}{\rd y}\frac{\rd y}{\rd t}$$

という chain rule を使ったが、これはどうやって出せるか (定理の「あてはめ」ですね)、 という基本的 (ということは重要) な質問をされた。

$z$ が $2$ つの変数 $x$ と $y$ の関数である、 つまり $z=z(x,y)$ であることを見て取るのが第1ステップである。 すると、

$$\frac{\rd z}{\rd\textcolor{red}{\fbox{\mathstrut}}} = \frac{\rd z... ...blue}{y}} \frac{\rd\textcolor{blue}{y}}{\rd\textcolor{red}{\fbox{\mathstrut}}}$$

となる。 この $\textcolor{red}{\fbox{\mathstrut}}$ に $t$ を入れて出来上がり。

もし $u$ が 3 変数 $x$, $y$, $z$ の関数、つまり $u=u(x,y,z)$ であれば、

$$\frac{\rd u}{\rd\textcolor{red}{\fbox{\mathstrut}}} = \frac{\rd u... ...blue}{z}} \frac{\rd\textcolor{blue}{z}}{\rd\textcolor{red}{\fbox{\mathstrut}}}$$

となる。

$z_i$ が $y_1$, $\dots$, $y_m$ の関数、つまり $z_i=z_i(y_1,\dots, y_m)$ であれば、

$$\frac{\rd z_i}{\rd\textcolor{red}{\fbox{\mathstrut}}} =\sum_{k=1}^m \frac{\rd z_i}{\rd y_k} \frac{\rd y_k}{\rd\textcolor{red}{\fbox{\mathstrut}}}.$$