定理と証明

1変数の場合

$y=f(x)$, $z=g(y)$ がいずれも微分可能であれば、 合成関数 $z=g(f(x))$ も微分可能で、

$$\frac{\D z}{\D x}=\frac{\D z}{\D y}\cdot\frac{\D y}{\D x}.$$

つまり

$$\left(g\circ f\right)'(a)=g'(b)f'(a)$$   $$\mbox{(ただし $b=f(a)$)}$$

である。

これは多変数の場合にも、自然に拡張できる。 右辺をヤコビ行列の積とみなせばよい。

証明の前に、$1$ 次関数だったら当たり前、ということを見よう。 $f(x)=A x+b$, $g(y)=C y+d$ とすると、

$$g\circ f(x)=g\left(f(x)\right)=g(Ax+b)=C(Ax+b)+d=C A x+(C b+d).$$

これから、

$$(g\circ f)'(x)=C A=g'(y) f'(x).$$

Proof. $f$ が $a$ で全微分可能であるから、

$$\eps_1(x):=f(x)-f(a)-f'(a) (x-a) \mbox{($x\in\Omega$)}$$ (1)

とおくと

$$\lim_{x\to a}\frac{\eps_1(x)}{\left\Vert x-a\right\Vert}=0.$$ (2)

また $g$ が $b=f(a)$ で全微分可能であるから、

$$\eps_2(y):=g(y)-g(b)-g'(b)(y-b) \mbox{($y\in D$)}$$ (3)

とおくと

$$\lim_{y\to b}\frac{\eps_2(y)}{\left\Vert y-a\right\Vert}=0.$$ (4)

(1) から

$$f(x)-f(a)=f'(a)(x-a)+\eps_1(x).$$ (5)

$y=f(x)$ とするとき、(3) から ($b=f(a)$ に注意して)

$$\left(g\circ f\right)(x)-\left(g\circ f\right)(a) =g(f(x))-g(f(a)) =g'(b)(f(x)-f(a))+\eps_2(f(x)).$$

(5) を代入して

$$\left(g\circ f\right)(x)-\left(g\circ f\right)(a) =g'(b)\left[f'(a)(x-a)+\eps_1(x)\right]+\eps_2(f(x))$$

$$=g'(b)f'(a)(x-a)+g'(b)\eps_1(x)+\eps_2(f(x)).$$

ゆえに

$$\lim_{x\to a}\frac{g'(b)\eps_1(x)}{\left\Vert x-a\right\Vert}=0$$ (6)

と

$$\lim_{x\to a}\frac{\eps_2(f(x))}{\left\Vert x-a\right\Vert}=0$$ (7)

を証明できれば、

$$\lim_{x\to a}\frac{g'(b)\eps_1(x)+\eps_2(f(x))}{\left\Vert x-a\right\Vert}=0$$

となるので、 $g\circ f$ が $a$ で全微分可能で $\left(g\circ f\right)'(a) =g'(b)f'(a)$ であることが結論できる。

(6) については、 (2) から

$$\left\Vert \frac{g'(b)\eps_1(x)}{\left\Vert x-a\right\Vert} \righ... ...ight\Vert \frac{\left\Vert\eps_1(x)\right\Vert}{\left\Vert x-a\right\Vert}\to 0$$   $$\mbox{($x\to a$)}$$

が成り立つことから明らかである。

(7) を証明するために、補助関数 $M$ を導入する。

$$M(y):= \begin{cases} \dfrac{\eps_2(y)}{\left\Vert y-b\right\Vert} & \mbox{($y\in D\setminus\{b\}$)} \\ 0 & \mbox{($y=b$)} \end{cases}$$

とおくと $M\colon D\to\R^m$ で、 (4) から

$$\lim_{y\to b} M(y)=0.$$

そして $\eps_2(b)=0$ に注意すれば

$$\eps_2(y)=\left\Vert y-b\right\Vert M(y)$$   $$\mbox{($y\in D$)}$$$$.$$

特に $\eps_2\left(f(x)\right)=\left\Vert f(x)-b\right\Vert M(f(x))$ である。 さて、

$$f(x)-b=f(x)-f(a)=f'(a)(x-a)+\eps_1(x)$$

より

$$\left\Vert f(x)-b\right\Vert=\left\Vert f'(a)(x-a)+\eps_1(x)\righ... ...Vert f'(a)\right\Vert\left\Vert x-a\right\Vert+\left\Vert\eps_1(x)\right\Vert.$$

ゆえに

$$\frac{\left\Vert\eps_2(f(x))\right\Vert}{\left\Vert x-a\right\Vert} =\frac{\left\Vert f(x)-b\right\Vert \left\Vert M\left(f(x)\right)... ...x)\right\Vert}{\left\Vert x-a\right\Vert} \right) \left\Vert M(f(x))\right\Vert$$

$$\to \left(\left\Vert f'(a)\right\Vert+0\right)\cdot 0=0 \mbox{($x\to a$)} .$$

ゆえに(7) が示された。 $\qedsymbol$ ARRAY(0xf947d8) $\qedsymbol$