0.0.0.1 問7

(0) 曲線 $\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1$ 上の点 $\left(\sqrt{\dfrac{3}{2}},1 \right)$ における接線を求めよ。 (1) 曲線 $\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1$ の傾き $-1$ の接線を求めよ。 (2) 曲面 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}+\dfrac{z^2}{2}=1$ と平面 $x+y+z=k$ が接するような実数 $k$ の値を求めよ。

(0) は例題扱いで解説した。 これは高校数学でも解ける。実際、

$$y=\pm\sqrt{2\left(1-\dfrac{x^2}{3}\right)}$$

で、 $(\sqrt{3/2},1)$ の近傍では、$+$ が採用されて、 $y=\sqrt{2\left(1-\dfrac{x^2}{3}\right)}$ であるから…

(解答) $F(x,y):=\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}$ とおくと、 曲線の方程式は $F(x,y)=1$. すなわち $F$ のレベル $1$ のレベルセットである。

$$\nabla F(x,y)=\begin{pmatrix}F_x(x,y) \\ F_y(x,y) \end{pmatrix}=\... ...c{3}{2}}\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sqrt{\dfrac{2}{3}}\\ 1\end{pmatrix}.$$

$\left(\sqrt{\frac{3}{2}},1\right)$ における接線は、 この点を通り、 $\nabla F\left(\sqrt{\frac{3}{2}},1\right)$ を法線ベクトルに持つので、

$$\sqrt{\dfrac{2}{3}}\left(x-\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)+ 1\cdot(y-1)=0.$$

整理して、

$$\sqrt{\frac{2}{3}}x+y-2=0. \qed$$