0.0.0.2 問6

次の関数の微分 $f'$ を求めよ。(3)はヤコビアン $\det f'$ も求めよ。
(1) $f(x,y)=\twovector{x^2 y^3}{x+y^4}$     (2) $f(x,y,z)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$     (3) $f(r,\theta,\phi)=\threevector{r\sin\theta\cos\phi}{r\sin\theta\sin\phi} {r\cos\theta}$.

(1) $m=2$, $n=2$ である。 $f=\begin{pmatrix}f_1\\ f_2\end{pmatrix}$ とおく。つまり

$$f_1(x,y):=x^2 y^3,\quad f_2(x,y):=x+y^4$$

とおくと、

$$f'(x,y)=\begin{pmatrix} \dfrac{\rd f_1}{\rd x} & \dfrac{\rd f_1}{\rd y} \\ \dfrac{\rd f_2}{\rd x} & \dfrac{\rd f_2}{\rd y} \end{pmatrix}.$$

(2) $m=1$, $n=3$ である。

$$f'(x,y,z)= \begin{pmatrix} \frac{\rd f}{\rd x} & \frac{\rd f}{\rd y} & \frac{\rd f}{\rd z} \end{pmatrix}$$

(3) $m=3$, $n=3$ である。 $f=\begin{pmatrix}f_1\\ f_2\\ f_3\end{pmatrix}$ とおくと、

$$f'(r,\theta,\phi) =\begin{pmatrix} \dfrac{\rd f_1}{\rd x} & \dfra... ...d f_3}{\rd x} & \dfrac{\rd f_3}{\rd y} & \dfrac{\rd f_3}{\rd z} \end{pmatrix}.$$

$\qedsymbol$

ARRAY(0xf6e758)