線形化写像は元の関数を近似する

まず「全微分」の定義を復習しよう。 $f$ が $a$ で全微分可能であるとは、

$$\exists A\in M(m,n;\R)$$   s.t.$$\quad \lim_{h\to 0}\frac{\;\textcolor{blue}{\bigl\Vert} f(a+h)-f(a)-A h\textcolor{blue}{\bigr\Vert}\;}{\left\Vert h\right\Vert}=0$$

が成り立つことをいい ( $\textcolor{blue}{\Vert \Vert}$ はあってもなくても同じ, また$A h$ は行列 $A$ とベクトル $h$ の積を意味していることに注意する)、 一意的に定まる行列 $A$ のことを $f$ の $a$ における全微分係数と呼び、 $f'(a)$ で表す。

これから、$f$ が $a$ で全微分可能ならば

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)-f'(a) h}{\left\Vert h\right\Vert}=0$$

が成り立つ。$h\to 0$ のとき、分母は 0 に収束するので、 分子はそれよりも速く 0 に収束する、ということである。 このことを

$$f(a+h)-f(a)-f'(a)h=o\left(\Vert h\Vert\right)$$   $$\mbox{($h\to 0$)}$$

と書く。

不正確な書き方になるが¹、$\Vert h\Vert$ が十分小さいとき、

$$f(a+h)\kinji f(a)+f'(a)h$$

が成り立つ。言い方を変えると、$x$ が $a$ に十分近いとき、

$$f(x)\kinji f(a)+f'(a) (x-a)$$

が成り立つ。 この右辺の式で表される写像、すなわち

$$\Omega\ni x\mapsto f(a)+f'(a)(x-a)\in\R^m$$

を $f$ の ($a$ における) 線形化写像 (1次近似) と呼ぶ (これはちゃんとした定義である)。