問

$f$ の $a$ における全微分係数は、 もし存在するならば一意的であることを示せ。

証明のために、行列のノルムを導入し、その性質を一つ紹介する。 $A=\left(a_{ij}\right)\in M(m,n;\R)$ とするとき、

$$\left\Vert A\right\Vert:=\sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n a_{ij}^2}$$

とおき、これを $A$ のノルムとよぶ。

$M(m,n;\R)$ の元 $A$ を、自然に (強引に？) $\R^{mn}$ の元に対応させたとき、 その ($\R^{mn}$ における) ノルムと $\Vert A\Vert$ は一致することから、

$$\left\Vert A\right\Vert\ge 0,$$   等号成立$$\Iff A=0,$$

$$\left\Vert A+B\right\Vert\le \left\Vert A\right\Vert+\left\Vert B\right\Vert,\quad$$

$$\left\Vert\lambda A\right\Vert=\left\vert\lambda\right\vert\left\Vert A\right\Vert$$

などが成立することは明らかである。

Proof. $A$ の第 $i$ 行ベクトルを転置したものを $\Vector{a}_i\in\R^n$ とする。

$$\Vector{a}_i= \begin{pmatrix} a_{i1} a_{i2} \vdots a_{in} \end{pmatrix}$$

であり、

$$A=\begin{pmatrix} \Vector{a}_1^T \\ \vdots\\ \Vector{a}_m^T \en... ...sum_{j=1}^n a_{ij}^2} =\sqrt{\sum_{i=1}^m\left\Vert\Vector{a}_i\right\Vert^2},$$

$$A x =\begin{pmatrix} \Vector{a}_1^T x \\ \vdots \\ \Vector{a}_m... ...\Vector{a}_1,x\right)\\ \vdots \\ \left(\Vector{a}_m,x\right) \end{pmatrix}.$$

Schwarz の不等式から、

$$\left\Vert A x\right\Vert^2 =\sum_{i=1}^m \left(\Vector{a}_i,x\ri... ...left\Vert x\right\Vert^2 =\left\Vert A\right\Vert^2 \left\Vert x\right\Vert^2.$$

ゆえに

$$\left\Vert A x\right\Vert\le \left\Vert A\right\Vert \;\left\Vert x\right\Vert. \qed$$

$\qedsymbol$

定理の証明は次回に回す。