0.0.0.1 問3

つぎの極限値が存在するかどうか調べ、存在する場合はそれを求めよ。
(1) $\dsp\lim_{(x,y)\to (1,2)}(x^2-y^2)$. (2) $\dsp\lim_{(x,y)\to (0,1)}\frac{1-x y}{x^2+y^2}$. (3) $\dsp\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{1}{x^2+y^2}$. (4) $\dsp\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x+y}{\log(x^2+y^2)}$. (5) $\dsp\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x-y}{x+y}$. (6) $\dsp\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$. (7) $\dsp\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^2 y^2}{x^2+y^2}$. (8) $\dsp\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\sin(x y)}{x y}$.

(締切は5月30日の授業開始時。)

極限の問題を必ず解く方法などは存在しない (問題が幅広すぎる)。 しばしば役立つ手段を3つほど紹介する (これらで上の問題は解ける)。

• $f$ が $(a,b)$ で連続ならば、 $\dsp\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=f(a,b)$.
• $\dsp\lim_{x\to a}f(x)=b$, $\dsp\lim_{y\to b}g(y)=c$ ならば、 $\dsp\lim_{x\to a}g(f(x))=c$. これは $a$, $b$, $c$ が有限でない場合も成立する。 1変数関数の極限 (高校数学にも登場) に関する知識が役立つケースが結構ある。
• 特定の近づけ方を考えることで、1変数の極限を調べることで当りをつける。 以下、二つほど例をあげる。

  (a)

  $f(x,y)=\dfrac{x y}{x^2+y^2}$ ( $(x,y)\ne(0,0)$) とするときの $\dsp\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ を求めよ。

  直線 $y=kx$ ($k$ はある定数) に沿って $(x,y)$ を $(0,0)$ に近づけた ときの極限を求めてみる。

  $$\lim_{y=kx\atop (x,y)\to(0,0)}f(x,y) =\lim_{x\to 0}f(x,kx) =\lim_... ...0}\frac{x\cdot kx}{x^2+(kx)^2} =\lim_{x\to 0}\frac{k}{1+k^2} =\frac{k}{1+k^2}.$$

  もし $\dsp\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=A$ となる $A$ があれば、 $A=\dfrac{k}{1+k^2}$ のはずだが、 右辺は $k$ の値によって異なる値を取るので矛盾である。 ゆえに $\dsp\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ は存在しない。

  (b)

  $f(x,y)=\dfrac{x^2 y}{x^2+y^2}$ ( $(x,y)\ne(0,0)$) とするときの $\dsp\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ を求めよ。

  直線 $y=kx$ ($k$ はある定数) に沿って $(x,y)$ を $(0,0)$ に近づけた ときの極限を求めてみる。

  $$\lim_{y=kx\atop (x,y)\to(0,0)}f(x,y) =\lim_{x\to 0}f(x,kx) =\lim_{x\to 0}\frac{x^2\cdot kx}{x^2+(kx)^2} =\lim_{x\to 0}\frac{k}{1+k^2}x =0.$$

  もし $\dsp\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=A$ となる $A$ があれば、 $A=0$ のはずである。 実際に $\dsp\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0$ となることを証明しよう。

  $$\left\vert f(x,y)-0\right\vert =\left\vert\frac{x^2y}{x^2+y^2}\ri... ... y\right\vert \le\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}\left\vert y\right\vert =\vert y\vert.$$

  $\left\Vert(x,y)-(0,0)\right\Vert\to 0$ のとき、すなわち $\sqrt{x^2+y^2}\to 0$ のとき、$\vert y\vert\to 0$ であるから (なぜならば $\vert y\vert\le\sqrt{x^2+y^2}$)、

  $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0. \qed$$