多変数関数

最初に記号から。 $\vec a\in\R^m$, $r>0$ に対して、

$$B(\vec a;r):=\left\{\vec x\in\R^m; \left\Vert\vec x-\vec a\right\Vert<r\right\}.$$

これを $\vec a$ を中心とする半径 $r$ の開球と呼ぶ。

$\Omega\subset\R^m$ に対して、

$$\overline\Omega:=\{\vec x\in\R^m;\forall\eps>0\quad \Omega\cap B(\vec x;\eps)\ne\emptyset\}$$

とおき、$\Omega$ の閉包と呼ぶ。図形的には、 $\Omega$ に $\Omega$ の縁を加えたものである (後でもう少し詳しく説明する)。

$\dsp\lim_{\vec x\to\vec a}\vec f(x)=\vec A$ とはどういう意味だろうか? $\vec x\to\vec a$ の意味が問題であるが、 結論から先に言うと、$\vec x$ と $\vec a$ との距離 $\left\Vert\vec x- \vec a\right\Vert$ が $\to 0$ となる、と約束する。

ここで図を描いて説明する。$\vec x$ が $\vec a$ に近づくというのは、 $1$ 変数の場合とは大きく様子が異なる。 $1$ 次元では、方向は1つしかなかったが、 $2$ 次元以上では、直線に沿った場合だけを考えても、 無限に多くの方向が存在するし、 曲線に沿って接近したりする場合もある。

記号の約束: $A$ と $B$ の差集合 $A\setminus B:=\{x\in A; x\not\in B\}$.