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A. Cassini の橙形

$ x y$ 平面上で、 方程式

(☆) $\displaystyle \left[(x-1)^2+y^2\right] \left[(x+1)^2+y^2\right]=a^4$   $\displaystyle \mbox{($a$\ は正の定数)}$

で定められる曲線を $ \mathrm{C}$ とするとき、以下の問に答えよ。
(1)
式 (☆) を $ y^2$ について解いて、$ y^2=f(x)$ の形に表わせ。
(2)
$ 0<a<\sqrt{2}$ であるとき、関数 $ f(x)$ の増減を調べよ。
(3)
$ 1<a<\sqrt{2}$ であるときの曲線 $ \mathrm{C}$ の概形を描け。

(二定点からの距離の積が一定である曲線で、 Cassini の橙形と呼ばれているもの。)

(1)
$ y^2=Y$ とおくと、(☆) は

$\displaystyle Y^2+\left[(x-1)^2+(x+1)^2\right]Y
+(x+1)^2(x-1)^2=a^4
$

となる。整理して、

$\displaystyle Y^2+2(x^2+1)Y+(x^2-1)^2-a^4=0.
$

$ 2$ 次方程式の解の公式から

$\displaystyle Y=-(x^2+1)\pm
\sqrt{(x^2+1)^2-\left[(x^2-1)^2-a^4\right]}
=-(x^2+1)\pm\sqrt{4x^2+a^4}.
$

$ Y=y^2\ge 0$ でなければならないので、複号のうち $ -$ は捨てて

$\displaystyle y^2=-(x^2+1)+\sqrt{4x^2+a^4}.
$

(2)
$ f(x)=-(x^2+1)+\sqrt{4x^2+a^4}$ とおくと、

$\displaystyle f'(x)=-2x+\frac{1}{2}\cdot\frac{8x}{\sqrt{4x^2+a^4}}
=\frac{2x\left(2-\sqrt{4x^2+a^4}\right)}{\sqrt{4x^2+a^4}}.
$

ゆえに $ f'(x)=0$ となるのは、 $ x=0$ または $ \sqrt{4x^2+a^4}=2$ のときである。

$\displaystyle \sqrt{4x^2+a^4}=2
\quad\Iff\quad
4x^2+a^4=4
\quad\Iff\quad
x^2=\frac{4-a^4}{4}
\quad\Iff\quad
x=\pm\frac{\sqrt{4-a^4}}{2}.
$

仮定 $ a<\sqrt{2}$ より $ 4-a^4>0$ であるので、 $ \pm\sqrt{4-a^4}/2$ は相異なる実数であることに注意する。 これから関数 $ f(x)$ の増減表は
$ x$ $ -\infty$   $ -\dfrac{\sqrt{4-a^2}}2$   0   $ \dfrac{\sqrt{4-a^4}}2$   $ \infty$
$ f'(x)$   $ +$ 0 $ -$ 0 $ +$ 0 $ -$  
$ f(x)$ $ -\infty$   $ 2+a^4/4$   $ a^2-1$   $ 2+a^4/4$   $ -\infty$
$ y=f(x)$ のグラフと $ x$ 軸との交点を 調べる。
  $\displaystyle f(x)=0$ $\displaystyle \Iff$ $\displaystyle x^2+1=\sqrt{4x^2+a^4}
\quad\Iff\quad
x^4+2x^2+1=4x^2+a^4$
    $\displaystyle \Iff$ $\displaystyle x^4-2x^2+(1-a^4)=0$
    $\displaystyle \Iff$ $\displaystyle x^2=1\pm\sqrt{1-(1-a^4)}
=1\pm\sqrt{a^4}
=1\pm a^2.$

これから
(i)
$ 0<a<1$ のとき、$ f(x)=0$ となるのは $ x=\pm\sqrt{1+a^2}$ , $ \pm\sqrt{1-a^2}$ . そして $ f(x)\ge 0$ となるのは、 $ -\sqrt{1+a^2}\le x\le-\sqrt{1-a^2}$ または $ \sqrt{1-a^2}\le x\le \sqrt{1+a^2}$ .
\includegraphics[width=6cm]{cassini/graph1.eps}
(ii)
$ a=1$ のとき、$ f(x)=0$ となるのは、$ x=0$ , $ \pm\sqrt{1+a^2}$ . そして $ f(x)\ge 0$ となるのは、 $ -\sqrt{1+a^2}\le x\le \sqrt{1+a^2}$ .
\includegraphics[width=6cm]{cassini/graph2.eps}
(iii)
$ 1<a<\sqrt{2}$ のとき、$ f(x)=0$ となるのは $ x=\pm\sqrt{1+a^2}$ . そして $ f(x)\ge 0$ となるのは、 $ -\sqrt{1+a^2}\le x\le \sqrt{1+a^2}$ . (参考: $ a=1.2$ の場合のグラフ)
\includegraphics[width=6cm]{cassini/graph3.eps}
(3)
$ -\sqrt{1+a^2}\le x\le \sqrt{1+a^2}$ , $ -\sqrt{2+a^4/4}\le y\le \sqrt{2+a^4/4}$ の 範囲に存在する。$ y$ 軸との交点は $ (0,\pm\sqrt{a^2-1})$ .
\includegraphics[width=10cm]{cassini/graph.eps}


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Masashi Katsurada
2011-10-01