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6.2.3 ヤコブ・ベルヌーイの螺旋、対数螺旋、等角螺旋

$\displaystyle r=a e^{b\theta}
$

オーム貝、アンモナイトのような巻き貝の形。

曲線上の点の座標は

$\displaystyle \varphi(\theta)=
\begin{pmatrix}
r\cos\theta\\ r\sin\theta
\end{p...
...begin{pmatrix}
a e^{b\theta}\cos\theta\\
a e^{b\theta}\sin\theta
\end{pmatrix}$

であるから、接線ベクトルは

$\displaystyle \varphi'(\theta)=
\begin{pmatrix}
a e^{b\theta}(b\cos\theta-\sin\theta)\\
a e^{b\theta}(b\sin\theta+\cos\theta)
\end{pmatrix}.
$

原点から接点に向う線分と、接線のなす角を $ \alpha$ とすると、

$\displaystyle \cos\alpha
=\frac{(b\cos\theta-\sin\theta)\cos\theta+(b\sin\theta...
...\cos\theta-\sin\theta)^2+(b\sin\theta+\cos\theta)^2}}
=\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}.
$

これが $ \theta$ によらない定数であることが、 等角螺旋という名前の由来である。

力学系

$\displaystyle \frac{\D}{\D t}
\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
a & -b \\ b & a
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$

の解曲線 (相平面における軌跡) も対数螺旋になる。

Java が使えるブラウザーで、 http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/labo/java/prog/ODE1.htmlにアクセスしてみよう。


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Masashi Katsurada
2011-10-01