5.2 双曲線

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$$ (3)

「2定点からの距離の差が一定である点の軌跡は双曲線である」の解析幾何的証明

2定点を $(c,0)$ と $(-c,0)$ , 距離の和を $2a$ ($c>a>0$ ) と置いて、

$$\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a$$

を移項して

$$\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a+\sqrt{(x-c)^2+y^2}.$$

両辺を平方して

$$\left(x^2+2cx+c^2\right)+y^2 =4a^2+4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\left(x^2-2cx+c^2\right)+y^2.$$

整理して

$$cx-a^2=a\sqrt{(x-c)^2+y^2}.$$

再び両辺を平方して

$$a^4-2a^2 c x+c^2 x^2=a^2\left(x^2-2cx+c^2+y^2\right).$$

移項して

$$\left(c^2-a^2\right)x^2-a^2 y^2=a^2\left(c^2-a^2\right).$$

$b:=\sqrt{c^2-a^2}$ とおくと

$$b^2 x^2-a^2 y^2=a^2 b^2.$$

割り算して

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$$

() で与えられる双曲線には、 有名なパラメーター表示が二つある。 一つは

$$x=\pm a\cosh t,\quad y=b\sinh t \mbox{($t\in \R$)}$$ (4)

というもの。 もう一つは

$$x=\frac{a}{\cos t},\quad y=b\tan t \mbox{($t\in(-\pi/2,\pi/2)\cup(\pi/2,3\pi/2)$)}$$ (5)

というもの。

a = 3; b = 2;
ParametricPlot[{{a Cosh[t], b Sinh[t]},
                {-a Cosh[t], b Sinh[t]}},
                {t, -3, 3},
                PlotRange -> {{-10*a, 10*a}, {-10*b, 10*b}}, 
                AspectRatio -> b/a]

$10$ と $3$ はマジックナンバーみたいでイヤだけど、 $\cosh 3=10.06\cdots$ だから、ということです。

a=3; b=2; eps=0.1;
g1=ParametricPlot[{a/Cos[t],b Tan[t]},{t,-Pi/2+eps,Pi/2-eps}];
g2=ParametricPlot[{a/Cos[t],b Tan[t]},{t,Pi/2+eps,3*Pi/2-eps}];
Show[g1,g2,PlotRange->All,AxesOrigin->0]