2 後退Euler法のコードを読む

時間について$\theta$法で差分近似した方程式は

$$\frac{1}{\Delta t}\left(u^{n+1}-u^n\right) =\Laplacian u^{n+1}+f.$$ (6)

これに対する弱形式は以下の通り。

$$\left(u^{n+1},v\right) -\left(u^{n},v\right) +\Delta t\langle u^{n+1},v\rangle-\Delta t(f,v)-\Delta t[g_2,v]=0 v\in X .$$ (7)

(内積の定義: $(u,v)=\dsp\int_\Omega u v\;\D x$, $\langle u,v\rangle=\dsp\int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v\;\D x$, $\nabla u\cdot\nabla v=u_xv_x+u_yv_y$, $[g_2,v]=\dsp\int_{\Gamma_2}g_2 v\;\D\sigma$, $\D\sigma$ は線要素)

FreeFem++ で対応するコードは

heatB.edp 内の problem

problem heat(u,v,init=n)=
  int2d(Th)(u*v)-int2d(Th)(uold*v)
 +int2d(Th)(tau*(dx(u)*dx(v)+dy(u)*dy(v)))
 -int2d(Th)(tau*f*v)-int1d(Th,2,3)(tau*g2*v)
 +on(1,4,u=g1);

(ラベル $1$, $4$ が $\Gamma_1$ を, ラベル $2$, $3$ が $\Gamma_2$ を構成している。)

このコードが弱形式 (7) の実現であることは読み取ろう。