5.0.0.1 解答

$f(x)=\cos x$ とおくと、

$$f'(x)=-\sin x,\quad f''(x)=-\cos x,\quad f'''(x)=\sin x,\quad f^{(4)}(x)=\cos x$$

であるから、

$$f^{(n)}(x) =\left\{ \begin{array}{ll} \cos x & \mbox{($n$\ を $4$... ...襪藩召$2$)}\\ 0 & \mbox{($n$\ を $4$\ で割ると余り $3$)} \end{array}\right.$$

これから

$$f(x) = f(0)+f'(0)x +\frac{f''(0)}{2}x^2 +\frac{f'''(0)}{3!}x^3 +\frac{f^... ...{f^{(5)}(0)}{5!}x^5 +\frac{f^{(6)}(0)}{6!}x^6 +\frac{f^{(7)}(0)}{7!}x^7 +\cdots$$

$$= 1+0\cdot x +\frac{-1}{2}x^2 +\frac{0}{3!}x^3 +\frac{1}{4!}x^4 +\f... ...x^5 +\frac{-1}{6!}x^6 +\frac{0}{7!}x^7 +\frac{1}{8!}x^8 +\frac{0}{9!}x^9+\cdots$$

$$= 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!} -\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\cdots =\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}.$$