4 5月27日 (高階の導関数)

p.23 の問題1を解け。

(1)

$f(x)=x^\alpha$ とおく。

$$f'(x)=\alpha x^{\alpha -1},\quad f''(x)=\alpha(\alpha-1) x^{\alpha -2},\quad f'''(x)=\alpha(\alpha-1)(\alpha-2) x^{\alpha -3},\cdots$$

より

$$f^{(n)}(x)=\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)x^{\alpha-n},.$$

(2)

$f(x)=a^{px}$ とおく。 $a=e^{\log a}$ ゆえ $a^{px}=(e^{\log a})^{px}=e^{x p\log a}$.

$$f'(x)=e^{x p\log a}(p\log a)=a^x (p\log a),\quad f''(x)=e^{x p\log a}(p\log a)^2=a^x(p\log a)^2,\cdots$$

より

$$f^{(n)}(x)=a^x(p\log a)^n.$$

(3)

$f(x)=e^{ax}$ とおく。

$$f'(x)=e^{ax}\cdot(ax)'=a e^{ax},\quad f''(x)=a\cdot e^{ax}\cdot(ax)'=a^2 e^{ax}, \cdots$$

より

$$f^{(n)}(x)=a^n e^{ax}.$$

(4)

$f(x)=xe^{ax}$ とおく。 Leibniz の法則から

$$f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n{}_n\mathrm{C}_k (x)^{(k)}\left(e^{ax}\right)^{(n-k)} ={}_n\mathrm{C}_0 x e^{ax} a^n+{}_n\mathrm{C}_1 1\cdot e^{ax} a^{n-1}+0$$

$$= 1\cdot x e^{ax}a^n+n\cdot e^{ax} a^{n-1}=e^{ax}a^{n-1}(ax+n).$$

(5)

$f(x)=x^2 e^{ax}$ とおく。 Leibniz の法則から

$$f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n{}_n\mathrm{C}_k(x^2)^{(k)}\left(e^{ax}\right)^{(n-k)... ..._n\mathrm{C}_1 2x\cdot e^{ax} a^{n-1} +{}_n\mathrm{C}_2 2\cdot e^{ax} a^{n-2}+0$$

$$= 1\cdot x^2 e^{ax}a^n+n\cdot 2x e^{ax} a^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}\cdot 2 e^{ax}a^{n-2} =e^{ax}a^{n-2}(a^2x^2+2nax+n(n-1)).$$

(6)

$f(x)=\sinh x$ とおく。

$$f'(x)=\cosh x,\quad f''(x)=\sinh x=f(x)$$

であるから、

$$f^{(n)}(x)= \left\{ \begin{array}{ll} \sinh x & \mbox{($n$\ が偶数)} \\ \cosh x & \mbox{($n$\ が奇数)}. \end{array}\right.$$

(7)

$f(x)=\cosh x$ とおくと、 前問と同様に

$$f^{(n)}(x)= \left\{ \begin{array}{ll} \cosh x & \mbox{($n$\ が偶数)} \\ \sinh x & \mbox{($n$\ が奇数)}. \end{array}\right.$$

(8)

$f(x)=\log x$ とおくと、

$$f'(x)=\frac{1}{x}=x^{-1},\quad f''(x)=(-1)x^{-2},\quad f'''(x)=(-1)(-2)x^{-3},\cdots$$

であるから、$n\ge 1$ のとき、

$$f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}(n-1)!x^{-n}.$$

(9)

$f(x)=\dfrac{1}{x+a}=(x+a)^{-1}$ とおくと、

$$f'(x)=(-1)(x+a)^{-2},\quad f''(x)=(-1)(-2)(x+a)^{-3},\quad f'''(x)=(-1)(-2)(-3)(x+a)^{-4},\cdots$$

であるから

$$f^{(n)}(x)=(-1)^n n! (x+a)^{-(n+1)}.$$

(10)

$f(x)=\dfrac{1+x}{1-x}$ とおくと、部分分数分解して

$$f(x)= \frac{1+x}{1-x}=-\frac{x+1}{x-1} =-\frac{x-1+2}{x-1} =-1-\frac{2}{x-1} =-1-2(x-1)^{-1}$$

であるから、

$$f'(x)=-2(-1)(x-1)^{-2},\quad f''(x)=-2(-1)(-2)(x-1)^{-3},\quad f'''(x)=-2(-1)(-2)(-3)(x-1)^{-4},\cdots$$

$$f^{(n)}(x)=-2(-1)^n n! (x-1)^{-(n+1)} =(-1)^{n+1}2 n! (x-1)^{-(n+1)}.$$

(11)

$f(x)=\dfrac{1}{x^2-1}$ とおくと、部分分数分解して

$$f(x)= \frac{1+x}{1-x}=-\frac{x+1}{x-1} =-\frac{x-1+2}{x-1} =-1-\frac{2}{x-1} =-1-2(x-1)^{-1}$$

であるから、

$$f'(x)=-2(-1)(x-1)^{-2},\quad f''(x)=-2(-1)(-2)(x-1)^{-3},\quad f'''(x)=-2(-1)(-2)(-3)(x-1)^{-4},\cdots$$

$n\ge 1$ に対して、

$$f^{(n)}(x)=-2(-1)^n n! (x-1)^{-(n+1)} =(-1)^{n+1}2 n! (x-1)^{-(n+1)}.$$

(12)

$f(x)=\dfrac{x}{a+bx}$ とおく。 これも部分分数分解で解けるが、 Leibniz の法則を使って解いてみよう。 まず準備として、

$$\frac{\D^\ell}{\Dx^\ell}\left[(b x+a)^{-1}\right] =(-1)(-2)\cdots(-\ell)(bx+a)^{-(\ell+1)}b^\ell =(-1)^\ell \ell! b^\ell (b x+a)^{-(\ell+1)}.$$

これを用いて

$$f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n{}_n\mathrm{C}_k \frac{\D^k}{\D x^k}(x) \cdot \frac{\D^{n-k}}{\Dx^{n-k}}\left[(b x+a)^{-1}\right]$$

$$= {}_n\mathrm{C}_0 x\cdot (-1)^n n! b^n (b x+a)^{-(n+1)} +{}_n\mathrm{C}_1 1\cdot (-1)^{n-1} (n-1)! b^{n-1} (b x+a)^{-n} +0$$

$$= (-1)^n n! b^{n-1}(bx+a)^{-(n+1)} \left[ b x+(-1) (bx+a) \right]$$

$$= (-1)^{n}(n-1)! a b^{n-1}(bx+a)^{-(n+1)}.$$