2004年度基礎数学III期末試験略解

桂田祐史 2004 年 7 月 30 日

1A

(2) sin^{−1} の逆は f: [−π/2, π/2] → [−1, 1], f(x) = sin x. y = sin^{−1} x とおくと、 x = sin y, y ∈ [−pi/2, π/2] となるので、 cos y ≥ 0 に注意して、

\frac{dx}{dy} = cos y = \sqrt{1 − sin^{2} y} = \sqrt{1 − x^{2}}.

ゆえに

(sin^{−1} x)′ = \frac{dy}{dx} = (\frac{dx}{dy})^{−1} = \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} .

(3) (これは授業中に説明した。二通りの解法を示した。 ) (2) と同様にして (cos^{−1} x)′ = \frac{−1}{\sqrt{1 − x^{2}}} が示せる。

\frac{d}{dx} (sin^{−1} x + cos^{−1} x) = \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} − \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} = 0

となるので、

sin^{−1} x + cos^{−1} x = sin^{−1} 0 + cos^{−1} 0 = 0 + \frac{π}{2} = \frac{π}{2} .

なお、 sin^{−1}, cos^{−1} ともに定義域は [−1, 1] で、実は任意の x ∈ [−1, 1] について成り立つ。

1B

(1)

cosh x = \frac{e^{x} + e^{−x}}{2} , sinh x = \frac{e^{x} − e^{−x}}{2} , tanh x = \frac{sinh x}{cosh x} = \frac{e^{x} − e^{−x}}{e^{x} + e^{−x}} .

(cosh x)′ = sinh x, (sinh x)′ = cosh x, (tanh x)′ = \frac{1}{cosh^{2} x}. (cosh x)′′ = cosh x, (sinh x)′′ = sinh x, (tanh x)′′ = −\frac{2 sinh x}{cosh^{3} x}.

(2) 結果のみ書いておく。 sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y, cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y.

(3) これは (2) の結果を使うだけ。やはり結果のみ書くと tanh(x + y) = \frac{tanh x + tanh y}{1 + tanh x tanh y} .

2A

(1) n ≥ 1 のとき

f^{(n)}(x) = α(α − 1) ⋯ (α − n + 1)(1 + x)^{α−n}.

(2)

f(x) = 1 + ∑_{n=1}^{∞} \frac{α(α − 1) ⋯ (α − n + 1)}{n!}x^{n}.

(3) \sqrt[3]{1 + x} = (1 + x)^{1/3} = 1 + \frac{x}{3} − \frac{x^{2}}{9} + O(x^{3}) となるので、 x → 0 のとき

\frac{\sqrt[3]{1 + x} − (1 + x/3)}{x^{2}} = −\frac{1}{9} + O(x) → −\frac{1}{9}.

2B

(1) sinh x = ∑_{k=1}^{∞} \frac{x^{2k−1}}{(2k − 1)!}. (2) f(x) = tan x とおくと、地道に計算して

f(0) = 0, f′(0) = 1, f′′(0) = 0, f^{(3)}(0) = 2, f^{(4)}(0) = 0

となることが分かるから、

tan x = f(x) = f(0) + f′(0)x + \frac{f′′(0)}{2}x^{2} + \frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^{3} + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^{4} + O(x^{5}) = x + \frac{x^{3}}{3} + O(x^{5}).

これから A = 0, B = 1, C = 0, D = \frac{1}{3}, E = 0. (3) 途中省略して −\frac{1}{6}

3

これは宿題です。途中を省略して

(1) ∫ \frac{dx}{\sqrt{−x^{2} + 4x − 3}} = sin^{−1}(x − 2) + C.

(2) ∫ \sqrt{x^{2} + 4x} dx = \frac{x + 2}{2}\sqrt{x^{2} + 4x} − 2 log |x + 2 + \sqrt{x^{2} + 4x}| + C. ただし、いずれも C は

積分定数を表す。

4

(1) 部分分数分解は

\frac{1}{x^{4} − 1} = −\frac{1}{2} · \frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{4} (\frac{1}{x − 1} − \frac{1}{x + 1})

となる。これから

∫ \frac{dx}{x^{4} − 1} = −\frac{1}{2} tan^{−1} x + \frac{1}{4} (log |x − 1| − log |x + 1|) + C.

∫_{√\overline{3}}^{∞} \frac{dx}{x^{4} − 1} = lim_{R→∞} [−\frac{1}{2} tan^{−1} x + \frac{1}{4} (log |x − 1| − log |x + 1|)]_{√\overline{3}}^{R}
= −\frac{π}{12} + \frac{1}{4} (log(\sqrt{3} + 1) − log(\sqrt{3} − 1)) .

ちなみに値は 0.06744 ⋯ (かなり小さい)。