2 事象と集合

この講義では、確率を数学的に扱うために集合の言葉で記述する。

サイコロを一回ふって出る目を調べるという試行では、 ($1$ の目が出ることを単に $1$ と表わすようにすると⁵) 結果は $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ の $6$ 通りある。このとき、 $1$, $2$, $3$, $\cdots$, $6$ を標本点 (sample point) と呼び、 標本点全体の集合 $\{1,2,\cdots,6\}$ を 標本空間 (sample space) と呼ぶ。

ある試行の標本空間が有限集合であるか、無限集合であるかに従って、その 試行を有限試行 または無限試行と呼ぶ。

この講義では、第 9 節までは有限試行だけを考える。

$U$ をある試行 $T$ の標本空間とするとき、$U$ の部分集合 $A$ に対して、 $T$ の結果として $A$ に属する標本点が出現することを簡単に「$A$ がおこ る」という。そこで、$U$ の部分集合 $A$ をじしょう 事象 (event) $A$ と呼ぶ。

ただ一つの標本点だけからなる事象を根元事象 (elementary event) と呼ぶ。

例えば、上のサイコロをふる例で、根元事象は

$$\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}, \{5\}, \{6\}$$

の $6$ 個である。

標本空間全体そのものの表わす事象を、 全事象 (total event) と 呼ぶ。

空集合の表わす事象を空事象 (empty event) と呼び、$\emptyset$ または $\phi$ で表わす。

集合算の復習

集合について集合算がある。復習しておこう。ある集合 $U$ の部分集合 $A$, $B$ について、

合併集合 (和集合, union)

$A\cup B=\{x; x\in A$   または$x\in B\}$.

共通部分 (積集合, product, intersection)

$A\cap B=\{x; x\in A$   かつ$x\in B\}$.

差集合

$A\setminus B=\{x; x\in A$   かつ$x\not\in B\}$.

補集合 (complement)

$\overline A=U\setminus A=\{x; x\in U$   かつ$x\not\in A\}$.
(この補集合の記号はあまり一般的でない。本によっては $A^c$ で表わす。)

一つの有限集合の部分集合全体の集合は、集合算 $\cup$, $\cap$, $\overline{}$ に関して、Boole 代数をなす。特に以下の二つの法則が成り立 つことに注意しよう。

1. 分配法則

$$A\cup (B\cap C)= (A\cup B)\cap (A\cup C),\quad A\cap (B\cup C)= (A\cap B)\cup (A\cap C).$$

2. ドDe モルガンMorgan の法則

$$\overline{A\cup B}=\overline A\cap \overline B,\quad \overline{A\cap B}=\overline A\cup \overline B.$$

ここに現われた集合は、標本空間の部分集合なので、やはり事象である。そ れに名前をつけておく。

$A$, $B$ を事象とする。

1. 和集合 $A\cup B$ を $A$, $B$ の和事象 (sum event) と呼ぶ。
2. 積集合 $A\cap B$ を $A$, $B$ の積事象 (product event) と呼ぶ。
3. 差集合 $A\setminus B$ を $A$, $B$ の差事象 と呼ぶ。
4. $A$ の補集合 $\overline A$ を $A$ の余事象 と呼ぶ。

事象 $A$ と $B$ が互いに排反する $\DefIff$ $A\cap B=\phi$. ($A$ と $B$ が同時には起こらない、ということ。事象 $A$ は事象 $B$ の排反事象 (exclusive events) であるという。)