10.2 定義

連続的確率変数 $X$ に対して

$$P(a\leqq X\leqq b)=\int_a^b f(x) \Dx,$$   $$\mbox{($a$, $b$ は任意の実数)}$$

となる関数 $f$ を $X$ の確率密度関数 と呼ぶ。

一般に

$$f(x)\geqq 0, \quad \int_{-\infty}^\infty f(x) \Dx=1$$

が成り立つ。

$X$ の平均 $E(X)$, 分散 $V(X)$ は 次式で定義される:

$$E(X) = \int_{-\infty}^\infty xf(x) \Dx,$$ (1)

$$V(X) = E((X-m)^2)=\int_{-\infty}^\infty (x-m)^2f(x) \Dx, \quad m=E(x).$$ (2)

離散的確率変数で学んだ定理のほとんどは連続的確率変数についても成立す る。例えば

$$V(X)=E(X^2)-E(X)^2.$$