2024年度 複素関数・同演習

　現象数理学科2年生以上対象。 火曜3限に複素関数 (402教室)、 水曜2限に複素関数演習 (310教室) が行われます。

連絡事項

• 今のうちに書いておこう。 運悪く体調不良で定期試験を欠席することになった場合は、 特別試験の受験を考えて下さい。 「総合数理学部 2024年度秋学期定期試験のお知らせ」 のページに「特別試験について」があります。
• 12月3,4日の講義を休講にしました。補講を以下の日程で行います。
  2025年1月23(木曜) 1,2限 402教室
• 11月26日、11月27日の講義でMathematicaの実行結果を見せます(ました)。 自分の Mac で実行したい場合は、 次のノートブックを実行して下さい。 20241127.nb
• 10月16日(水曜)2限の複素関数演習を休講したので、 補講として以下のオンデマンド資料を提供します。
  • イントロ
  • 問2解説
  • 問3解説
  • Mathematicaの利用

資料

• 講義ノート(2024/10/29更新)
• シラバス (2024/8/4アクセス)
• (2024/9/24) 「ガイダンス」
• 「現代数学への入門」 この中に教科書である神保道夫「複素関数入門」があります。 (図書館電子書籍 --- 学内ネットワークからは簡単に読めます。 学外からも共通認証システムのアカウントを利用すれば読めます。)
  明治大学で読める数学関係の電子書籍
• 「複素数とMathematica」 (HTML), (PDF) (2021/9/6) --- 書き直しが必要と分かっていますが、サボっています。
  2019年度版 (2019年度の宿題の検算をする) 20191120_complex_function.nb (ノートブック), 20191120_complex_function.pdf (PDF, 結果も含む) (2021/1/24 リンク切れ直しました。)
• 高木貞治「函数論縁起」から引用
  普通、 関数論は Cauchy が創始者というとらえられ方をすることが多いですが、 いわゆる積分定理などは Gauss も知っていた、ということだそうです。 「近世数学史談」という有名な本に載っている文章です。 これを読んでどこまで理解できるかで、 自分の関数論の理解の程度が分かります。
• 飯高茂「大学生にきちんと虚数を教えよう --- コーシーの定理を教える前に--」, (第49回公私立数学系学科懇談会の活動報告), 数学通信, Vol. 15, No. 1, pp. 46--53 (2010 年 3 月 26 日),
• 「ベクトル解析」 線積分と言うと、ベクトル解析にも登場するので、 参考資料として昔の微積分の講義ノートを載せておきます。

宿題

　ほぼ毎週1問出す予定。 原則として、翌週火曜3限の授業開始前に提出して下さい。 教育実習をする人は、3週分の宿題は免除します (例えば全13回として、10回提出で満点とする)。 「授業の提出物を PDF 形式で用意する方法」

　単純な計算問題は、講義で解説を省略する代わりに解答PDFを早めに公開します。 他の問題も、学期末が近づくと解答を公開する場合があります。

• 問1 (2024/9/25出題, 10/1 13:30 までに提出), toi1-koukai.tex, 解答
• 問2 (2024/10/2出題, 10/8 13:30 までに提出), toi2-koukai.tex, 解答
• 問3 (2024/10/9出題, 10/15 13:30 までに提出), toi3-koukai.tex, 解答(10/28加筆しました)
• 問4 (2024/10/15出題, 10/22 13:30 までに提出), toi4-koukai.tex, 解答(11/3 公開することにしました。)
• 問5 (2024/10/23出題, 10/29 13:30 までに提出), toi5-koukai.tex, 解答
• 問6 (2024/10/30出題, 11/12 13:30 までに提出), toi6-koukai.tex, 解答
• 問7 (2024/11/13出題, 11/19 13:30 までに提出), toi7-koukai.tex, 解答
• 問8 (2024/11/20出題, 11/26 13:30 までに提出), toi8-koukai.tex, 解答
• 問9 (2024/11/27出題, 12/3 13:30 までに提出), toi9-koukai.tex
• 問10 (2024/12/11出題, 12/17 13:30 までに提出), toi10-koukai.tex
• 問11 (2024/12/18出題, 1/8 13:30 までに提出), toi11-koukai.tex

講義資料

　これからの授業の進展は速いので、やむを得ず欠席した人のため、 ノートの確認のため、講義資料を公開します。講義をした日の晩か、 翌日にアップします。

• 2024/12/10 第19回授業資料PDF, 線積分(1)
• 2024/12/11 第20回授業資料PDF, 線積分(2), Cauchyの積分定理
• 2024/12/17 第21回授業資料PDF, Cauchyの積分定理 (2)
• 2024/12/18 第22回授業資料PDF, Cauchyの積分定理 (3), 円盤領域におけるCauchyの積分公式
  暫定版の資料です。

練習問題

　全部の問題の解答はありませんが、 そのうち、なるべく全部準備します(桂田の努力目標)。 解答が書いていない問題の解答を知りたい場合は気軽にリクエストして下さい (準備の優先順位をあげます)。 解答には誤植も多いと思います (見直すたびに見つかります, 正直ちょっと雑です)。 変だなと思ったら質問して下さい。 No.~6, 7 は粗いです。

• 練習問題 No. 1 複素数の四則, 実部・虚部・共役複素数, 絶対値
• 練習問題 No. 2 複素指数関数, ド・モアブルの公式と等比数列の和, 極形式・偏角, n乗根 (2項方程式)
• 練習問題 No. 3 複素関数の実部・虚部, 正則性, Cauchy-Riemann の関係式
• 練習問題 No. 4 冪級数の収束, 一様収束
• 練習問題 No. 5 冪級数の項別微分可能性、正則性、展開の一意性, 初等関数
• 練習問題 No. 6 線積分, Cauchyの積分定理・積分公式
• 練習問題 No. 7 Cauchy の積分公式から導かれる正則関数の性質, 孤立特異点と Laurent 展開, 留数, 零点と極の位数, 留数定理の定積分計算への応用 気が向いたら定積分の計算問題の解答を書くかもしれませんが (現在ほとんど書いていないということです)、 忙しいので今年度も無理かな。 講義ノートの例題を参考にして下さい。

過去問

• 2014年度期末試験
• 2015年度期末試験
• 2016年度期末試験
• 2017年度期末試験
• 2018年度期末試験
• 2019年度期末試験
• 2022年度期末試験
• 2023年度期末試験