8 応用: ある計算問題 (有理関数の Taylor 展開を求める) の答の検算

$$f(z)=\frac{z^3-3z^2-z+5}{z^2-5z+6}.$$

の 0 の周りの Taylor 展開を求めよ、という問題。

人手で解く場合は、$f(z)$ を部分分数に分解する。 そのためには、 $z^3-3z^2-z+5$ を $z^2-5z+6$ で割りたくなる。

A=z^3-3z^2-z+5
B=z^2-5z+6
f=A/B
q=PolynomialQuotient[A,B,z]
r=PolynomialRemainder[A,B,z]

あるいは

{q,r}=PolynomialQuotientRemainder[A,B,z]

これから商 $q=z+2$, 余り $r=3z-7$ が求まる (商は quotient, 余りは remainder. polynomial は多項式という意味)。ゆえに

$$f(z)=\frac{(z+2)(z^2-5z+6)+3z-7}{z^2-5z+6} =z+2+\frac{3z-7}{(z-2)(z-3)}.$$

この右辺を部分分数分解しても良いが、 そもそも Mathematica にやらせるのならば、 最初から $f(z)$ の部分分数分解を指示してもよい。

Apart[r/B]

Apart[f]

それぞれ $\dfrac{2}{-3+z}+\dfrac{1}{-2+z}$, $2+\dfrac{2}{-3+z}+\dfrac{1}{-2+z}+z$ となる。

結局

$$f(z)=z+2+\frac{1}{z-2}+\frac{2}{z-3}.$$

Series[f,{z,0,10}] とすると、 0 の周りの Taylor 展開を $10$ 次の項まで求めることが出来る。

$$f(z)= \dfrac{5}{6}+\dfrac{19z}{36}-\dfrac{43}{216}z^2-\dfrac{113}{1296}z^3 -\dfrac{307}{7776}z^4-\cdots$$(途中省略)$$-\cdots -\frac{181243}{362797056}z^{10}+O(z^{11})$$

が得られる。series は級数という意味の英単語である。

実は、0 の周りのTaylor展開の第$n$項は

SeriesCoefficient[f,{z,0,n}]

で求められる (宿題の答えだけを求めるには、これ一発でOK)。

$f$ の 0 の周りの Taylor 展開は

$$f(z)=\frac{5}{6}+\frac{19}{36}z-\sum_{n=2}^\infty \left(\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{2}{3^{n+1}}\right)z^n.$$

Sum[] で検算が可能で、

5/6+19z/36-Sum[(1/2^(n+1)+2/3^(n+1))z^n,{n,2,Infinity}]
Simplify[%]

とすると、

$$\frac{5-z-3z^2+z^3}{6-5z+z^2}$$

が得られる。無事、$f(z)$ と一致したので、ほっと一息。