2022年度 複素関数・同演習

　現象数理学科2年生以上対象。 火曜3限に複素関数 (402教室)、 水曜2限に複素関数演習 (310教室) が行われます。

連絡事項

• 追試の採点も終了。いつものことだけれど、 目が覚めたような答案を書く人がいる (追試だから上の成績はつけられないんだけど) 一方で、 本試験のときとまったく同じミスを連発する人もいる (本試験の解説を公開しているのに気づかないのか)。 後者については、 今年度は本試験の答案を見せる時間的な余裕がないせいで、 ある程度仕方のないことかなと思うけれど、 ちょっとやるせない気持ちになる。
• 追試験を2月3日12:30--14:30に行います。 (採点作業の進捗、成績表提出〆切、教室の確保、 諸般の事情を考慮してこうなりました。) 今年度は日程の関係で時間の余裕がないため (その分最後の授業から試験まで時間があったと言う面はあります)、 元々追試験を実施する予定はなく、 万全の体制では行えませんが、 「やらないよりはやった方が良い」と考えて実施します。 追試を受けたいが都合が合わない人もいると思いますが、 理解して下さい。
  定期試験の結果、合格点に達しなかった人には、 Oh-o! Meiji のお知らせ機能を使って連絡しました。 念のため合格点に達した人の学生番号を、 今夕(18:00頃？)から24時間授業WWWサイトに掲載します (合格者学生番号)。 本来であれば、期末試験の詳しい解答を公表すべきところですが、 「期末試験略解」 だけ掲載しておきます (少しずつ改訂しています)。
  「私の得点は何点ですか。」等の問い合わせには、 追試験を受験する必要のある人だけに回答します。 追試験を受験しない人からの問い合わせには回答しません(忙しいため)。
• 毎週1回宿題を出します。今年度は(2021年度と同様) オンラインで (Oh-o! Meiji レポート・システムを使って) 提出してもらい、 フィードバックもオンラインで行います。 A4サイズの PDF 形式で提出してもらいます。 「授業の提出物を PDF 形式で用意する方法 Ver. 2」 を参考にして下さい。 (こちらが読めて添削できることが大事で、 どうやってPDFにしたかとかは関係ありません。 自分がやりやすい方法でやって下さい。 やり方で評価を変えたりしません。)。

資料

• 講義ノート(2022/12/3)
  
• シラバス (2022/8/24アクセス)
• 「現代数学への入門」 この中に教科書である神保道夫「複素関数入門」があります。 (図書館電子書籍 --- 学内ネットワークから読めます)
  明治大学で読める数学関係の電子書籍
• 「複素数とMathematica」 (HTML), (PDF) (2021/9/6) --- 書き直しが必要と分かっていますが、サボっています。
  2019年度版 (2019年度の宿題の検算をする) 20191120_complex_function.nb (ノートブック), 20191120_complex_function.pdf (PDF, 結果も含む) (2021/1/24 リンク切れ直しました。)
• 高木貞治「函数論縁起」から引用
  普通、 関数論は Cauchy が創始者というとらえられ方をすることが多いですが、 いわゆる積分定理などは Gauss も知っていた、ということだそうです。 「近世数学史談」という有名な本に載っている文章です。 これを読んでどこまで理解できるかで、 自分の関数論の理解の程度が分かります。
• 「ベクトル解析」 線積分と言うと、ベクトル解析にも登場するので、 参考資料として昔の微積分の講義ノートを載せておきます。

宿題

　ほぼ毎週1問出す予定。 原則として、翌週火曜3限の授業開始前に提出して下さい。 教育実習をする人は、3週分の宿題は免除します (例えば全14回として、11回提出で満点とする)。

• 問1 (2021/9/22出題, 9/27 13:30 までに提出), toi1-koukai.tex
• 問2 (2022/9/28出題, 10/4 13:30 までに提出), toi2-koukai.tex
• 問3 (2022/10/5出題, 10/11 13:30 までに提出), toi3-koukai.tex
• 問4 (2022/10/12出題, 10/18 13:30 までに提出), toi4-koukai.tex
• 問5 (2022/10/18出題, 10/25 13:30 までに提出), toi5-koukai.tex
• 問6 (2022/10/25出題, 11/8 13:30 までに提出), toi6-koukai.tex
• 問7 (2022/11/9出題, 11/15 13:30 までに提出), toi7-koukai.tex
• 問8 (2022/11/16出題, 11/22 13:30 までに提出), toi8-koukai.tex
• 問9 (2022/11/30出題, 12/6 13:30 までに提出), toi9-koukai.tex
• 問10 (2022/12/7出題, 12/13 13:30 までに提出), toi10-koukai.tex
• 問11 (2022/12/14出題, 12/20 13:30 までに提出), toi11-koukai.tex
• 問12 (2022/12/21出題, 1/10 13:30 までに提出), toi12-koukai.tex
• 問13 (2023/1/11出題, 1/10 13:30 までに提出), toi13-koukai.tex

授業

1. 第1回授業スライドPDF, 第1回授業スライドPDF(handout), 第1回授業スライド訂正・補足 ガイダンス
2. 第2回授業スライドPDF, 第2回授業スライドPDF(handout), 第2回授業スライド訂正・補足 複素数の定義, 平方根
3. 第3回授業スライドPDF, 第3回授業スライドPDF(handout), 第3回授業スライド訂正・補足 複素数の基本的な性質: 平方根(続き)、共役複素数、複素平面、絶対値
4. 第4回授業スライドPDF, 第4回授業スライドPDF(handout), 第4回授業スライド訂正・補足 複素指数関数, 極形式
5. 第5回授業スライドPDF, 第5回授業スライドPDF(handout), 第5回授業スライド訂正・補足 極形式(続き), n乗根
6. 第6回授業スライドPDF, 第6回授業スライドPDF(handout), 第6回授業スライド訂正・補足 n乗根 (続き), 距離と複素数列の収束, 複素関数の実部・虚部
7. 第7回授業スライドPDF, 第7回授業スライドPDF(handout), 第7回授業スライド訂正・補足 複素関数の極限・連続性, 微分と正則性
8. 第8回授業スライドPDF, 第8回授業スライドPDF(handout), 第8回授業スライド訂正・補足 Cauchy-Riemann方程式
9. 第9回授業スライドPDF, 第9回授業スライドPDF(handout), 第9回授業スライド訂正・補足 Caychy-Riemann方程式, 冪級数
10. 第10回授業スライドPDF, 第10回授業スライドPDF(handout), 第10授業スライド訂正・補足 冪級数 (2)
11. 第11回授業スライドPDF, 第11回授業スライドPDF(handout), 第11回授業スライド訂正・補足 冪級数 (3) 収束半径の公式の証明, 一様収束
12. 第12回授業スライドPDF, 第12回授業スライドPDF(handout), 第12回授業スライド訂正・補足 冪級数 (4) 一様収束(続き), WeierstrassのM-test, 冪級数の広義一様収束性
13. 第13,14回の講義メモですが、現在体調がすぐれず、 いつものようなのが出せません。 とりあえず、両方の内容を大体含むPDFを公開します (講義しなかった内容を含んでいます)。 §3.4.2まで(スライドの番号でいうと19まで)やりました。 宿題4の解説とかも入れないと。 宿題5は問5解説PDF を公開しておきます。
    第13回授業スライドPDF, 第13回授業スライドPDF(handout), 第13回授業スライド訂正・補足
14. 第14回の分は第13回とまぜたもの(↑)で勘弁して下さい。 (ちょっと用事が混んでいて、ばてています。)
15. 第15回授業スライドPDF, 第15回授業スライドPDF(handout), 第15回授業スライド訂正・補足 冪級数(6) 微分方程式の級数解法, 初等関数の冪級数による定義, 収束円周上での収束発散
16. 第16回授業スライドPDF, 第16回授業スライドPDF(handout), 第16回授業スライド訂正・補足 冪級数 (7) 残り, 対数関数と冪関数 (1)
17. 第17回授業スライドPDF, 第17回授業スライドPDF(handout), 第17回授業スライド訂正・補足 対数関数と冪関数(2)
    2022/11/22の授業でMathematicaを動かしてみます。 スライドの7,8ページ。あるいは 「複素対数関数を描く」
18. 第18回授業スライドPDF, 第18回授業スライドPDF(handout), 第18回授業スライド訂正・補足 線積分(1)
19. 第19回授業スライドPDF, 第19回授業スライドPDF(handout), 第19回授業スライド訂正・補足 線積分(2), Cauchyの積分定理(1) 三角形の周に沿う積分の場合
20. 第20回授業スライドPDF, 第20回授業スライドPDF(handout), 第20回授業スライド訂正・補足 Cauchyの積分定理(2) 原始関数, 単連結領域
21. 第21回授業スライドPDF, 第21回授業スライドPDF(handout), 第21回授業スライド訂正・補足 Cauchyの積分定理(3) 星型領域, 積分路の変形
22. 第22回授業スライドPDF, 第22回授業スライドPDF(handout), 第22回授業スライド訂正・補足 円盤領域におけるCauchyの積分公式と正則関数の冪級数展開
23. 第23回授業スライドPDF, 第23回授業スライドPDF(handout), 第23回授業スライド訂正・補足 正則関数の性質 (零点の位数, 一致の定理) --- 乱丁直しました。
24. 第24回授業スライドPDF, 第24回授業スライドPDF(handout), 第24回授業スライド訂正・補足 Laurent展開, 孤立特異点
25. 第25回授業スライドPDF, 第25回授業スライドPDF(handout), 第25回授業スライド訂正・補足 Laurent展開
26. 第26回授業スライドPDF, 第26回授業スライドPDF(handout), 第26回授業スライド訂正・補足 留数定理(1) 留数の計算法
27. 第27回授業スライドPDF, 第27回授業スライドPDF(handout), 第27回授業スライド訂正・補足 定積分計算への留数の応用, 留数定理(2)
28. 第28回授業スライドPDF, 第28回授業スライドPDF(handout), 第28回授業スライド訂正・補足 留数定理の証明, Liouvilleの定理, 代数学の基本定理の証明

練習問題

　全部の問題の解答はありませんが、 そのうち、なるべく全部準備します(努力目標)。 解答が書いていない問題の解答を知りたい場合は気軽にリクエストして下さい (準備の優先順位をあげます)。 解答には誤植も多いと思います (見直すたびに見つかります, 正直ちょっと雑です)。 変だなと思ったら質問して下さい。 No.~6, 7 は粗いです。

• 練習問題 No. 1 複素数の四則, 実部・虚部・共役複素数, 絶対値
• 練習問題 No. 2 複素指数関数, ド・モアブルの公式と等比数列の和, 極形式・偏角, n乗根 (2項方程式)
• 練習問題 No. 3 複素関数の実部・虚部, 正則性, Cauchy-Riemann の関係式
• 練習問題 No. 4 冪級数の収束, 一様収束
• 練習問題 No. 5 冪級数の項別微分可能性、正則性、展開の一意性, 初等関数
• 練習問題 No. 6 線積分, Cauchyの積分定理・積分公式
• 練習問題 No. 7 Cauchy の積分公式から導かれる正則関数の性質, 孤立特異点と Laurent 展開, 留数, 零点と極の位数, 留数定理の定積分計算への応用 気が向いたら定積分の計算問題の解答を書くかもしれませんが (現在ほとんど書いていないということです)、 忙しいので今年度も無理かな。 講義ノートの例題を参考にして下さい。

過去問

• 2014年度期末試験
• 2015年度期末試験
• 2016年度期末試験
• 2017年度期末試験
• 2018年度期末試験
• 2019年度期末試験
• 2022年度期末試験(略解)